第3讲 函数的性质-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第3讲 函数的性质 方法总结： 1.函数对称性常考结论 （1）函数图象本身的对称性. 若，则具有对称性. 若，则具有周期性. （2）图象关于直线对称. 推论1：的图象关于直线对称. 推论2：的图象关于直线对称. 推论的图象关于直线对称. （3）的图象关于点对称. 推论1：的图象关于点对称. 推论的图象关于点对称. 推论的图象关于点对称. （4）两个函数的图象对称性 ①与图象关于轴对称. ②与图象关于原点对称. ③函数与图象关于轴对称. ④函数与其反函数图象关于直线对称. ⑤函数与图象关于直线对称. 推论1：函数与图象关于直线对称. 推论2：函数与图象关于直线对称. 推论3：函数与图象关于直线对称. 2.函数周期性常考结论 （1）若，则. （2）若，则. （3）若，则. （4）若，则. （5）若，则. （6）若，则. 3.函数的对称性与周期性之间的联系 结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴，，即， 且.，那么是周期函数，其中一个周期. 结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点，成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期. 结论3：线一点对称型：如果函数的图象关于点成中心对称，且关于直线 成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期. 以上3个结论可以用三角函数去理解和记忆. 推论1：如果偶函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论2：如果偶函数的图象关于点对称，那么是周期函数，其中一个周期.推论3：如果奇函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，其中一个周期. 推论4：如果奇函数关于点成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期. 类型一：单调性 例1．设函数为定义在上的函数，对都有：，；又函数对，，，有成立，设，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 例2．函数y＝f（x）在区间[0，2]上单调递增，且函数f（x＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 例3．已知函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 例4．若，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 例5．设函数为定义在上的函数，对都有：，；且在上单调递增，设，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． （多选）例6．法国数学家柯西（A. Cauchy. 1789-1857）研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为0.对于函数，下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．若恒成立，则的最小值为1 （多选）例7．若方程表示的曲线是函数的图像，则下列结论正确的有（ ） A．函数的图像经过第三象限 B．函数在R上单调递减 C．的解集为 D．函数存在零点 （多选）例8．已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（ ） A．周期为 B．函数在区间上为增函数 C．函数在上的零点个数为 D．对， 例9．已知函数.下面四个结论 ①是奇函数 ②在上为增函数 ③若，则 ④对任意实数x恒成立 其中正确的是___________. 例10．已知函数，对，且都有成立，则实数的取值范围是________. 类型二：奇偶性 例1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 例2．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 A． B． C． D． 例3．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ） A． B． C．2 D．4 例4．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 例5．已知函数在上单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例6．已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 例7．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 例8．已知函数，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 例9．若定义在的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例10．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数，函数，则的值为（ ） A．0 B．2022 C．8088 D．8090 例11．已知函数为奇函数，.若，则____________ 例12．已知常数，，若函数为偶函数，则___________. 例13．已知函数，若，则实数x的取值范围是___________. 类型三：周期性 例1．已知函数满足：，则，当时，，则的值为（ ） A． B． C． D． 例2．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，（且）.若，则（