专题01 函数的恒成立问题-2022年高考数学二轮典型专题解析（全国通用）

2022年高考数学二轮典型专题解析 专题1 函数的恒成立问题 考点解读 【例题】已知函数f(x)＝ex(1＋mln x)，其中m>0，f′(x)为f(x)的导函数，设h(x)＝，且h(x)≥恒成立，求m的取值范围． 【解析】由题意知，f′(x)＝ex(x>0)， h(x)＝＝1＋＋mln x， h′(x)＝(x>0)， 由h′(x)>0，得x>1，所以函数h(x)在(1，＋∞)上是增函数；由h′(x)<0，得0<x<1，所以函数h(x)在(0,1)上是减函数， 故h(x)在x＝1处取得最小值，且h(1)＝1＋m. 由于h(x)≥恒成立，所以1＋m≥，解得m≥， 所以m的取值范围为. 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 专题强化 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（　　） A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤b C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b 【解析】A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|， 即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误， B．若f（a）≤2b， 则由条件知f（x）≥2x， 即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b， 则a≤b，故B正确， C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误， D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误， 故选：B． 2．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（　　） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e] 【解析】当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立； 当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立， 令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0， ∴2a≥g（x）max＝0，∴a≥0． 当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立， 令h（x）＝，则h′（x）＝＝， 当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增， 当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减， ∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e， ∴a≤h（x）＝e， 综上a的取值范围是[0，e]． 故选：C． 3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，] 【解析】若a＝0当x≥0，f（x）＝×2|x|＝x， ∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）＝x， 则对∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x）； 若a≠0，当x≥0时， f（x）＝， 由f（x）＝x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x≤2a2时，f（x）＝﹣a2； 由f（x）＝﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2． ∴当x＞0时，． ∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，． ∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：（a≠0）． 综上，实数a的取值范围是． 故实数a的取值范围是． 故选：B． 4．已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是（　　） A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4 【解析】若函数f（x）＝的定义域是一切实数， 则等价为mx2+mx+1≥0恒成立， 若m＝0，则不等式等价为1≥0，满足条件， 若m≠0，则满足， 即， 解得0＜m≤4， 综上0≤m≤4， 故选：D． 5．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[，1]，总存y∈（0，+∞），使得xlnx+1+a＝成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（，e] D．（﹣∞，] 【解析】∵xlnx+1+a＝＝+1， ∴xlnx+a＝， 设f（x）＝xlnx+a，g（y）＝， ∴f′（x）＝1+lnx≥1+ln＝0， ∴f（x）在[，1]单调递增， ∴f（1）＝a，f（）＝ln+a＝﹣+a， ∴f（x）∈[a﹣，a]， ∵g′（y）＝＝， 令g′（y）＝0，解得y＝e， ∴当0＜y＜e时，g′（y）＞0，函数g（y）单调