4.1.3独立性与条件概率的关系-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.3 独立性与条件概率的关系 知识梳理 1．如果P(A|B)=P(A)，那么一定有P(AB)=P(A)P(B)．因此，当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)． 当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的．事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等． P(A|B)==P(A) 2． 概率关系如表所示： A，B互斥 A，B相互独立 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() P(AB) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) P(+AB) 1 1-P(A)P(B) 常见考点 考点一 独立性与条件概率的关系 典例1．已知，判断A与B是否独立． 【答案】独立 【分析】 根据条件概率公式计算概率，然后判断． 【详解】 ， ，所以，又，， 所以相互独立． 变式1-1．已知，且，求． 【答案】0.18 【分析】 由题意得A，B相互独立，根据概率乘法公式即可得结果. 【详解】 ∵，∴A，B相互独立， ∵， ∴. 变式1-2．当时，求证：的充要条件是． 【答案】证明见解析. 【分析】 根据条件概率公式和相互独立事件的概率公式即可得出证明. 【详解】 若，则，所以， 所以， 所以； 反之，若，则，即， 所以， 所以. 所以的充要条件是． 变式1-3．已知A与B独立，且，求． 【答案】0.7 【分析】 根据对立事件概率关系及相互独立事件概念求解即可. 【详解】 , , A与B独立, 考点二 独立事件的乘法公式以及实际应用 典例2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，出现“次正面向上”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意得每次抛掷硬币时正面向上的概率，进而可得解. 【详解】 由题意每次抛掷硬币正面向上的概率为， 故“次正面向上”的概率， 故选：C. 变式2-1．一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球､2个黑球.现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先求出摸一次摸出白球的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得； 【详解】 解：依题意从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为 故选：C 变式2-2．甲､乙两人进行羽毛球比赛，约定先赢得局者获胜，其中每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.已知第局乙获得胜利，则甲最终获胜的概率是___________. 【答案】 【分析】 通过枚举法分析甲获胜的可能情况，然后根据独立事件的概率计算方法计算﹒ 【详解】 由题意可知在第1局乙获胜，则甲获胜有以下两种情况： ①第2、3、4局甲连续获胜：； ②第2局乙获胜，第3、4、5局甲获胜：； ③第2、5局甲获胜，第3、4局甲乙各胜一局：； 所以甲获胜的概率为﹒ 故答案为： 变式2-3．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是____________． 【答案】 【分析】 根据题意，分第三局乙获胜、第三局乙负，第四局乙获胜、第三四局乙负，第五局乙获胜三种情况求解相应概率，再求和. 【详解】 解：最后乙队获胜，则需要在剩下的三次比赛中赢一局即可. 当第三局乙获胜，其概率为， 当第三局乙负，第四局乙获胜，其概率为， 当第三四局乙负，第五局乙获胜，其概率为， 所以最后乙获胜的概率为， 故答案为：. 典例3．某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为，，，在实验操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响 （1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大； （2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率． 【答案】 （1）甲：，乙：，丙：；丙进入复试可能性大； （2） 【分析】 （1）根据独立事件概率的乘法公式计算即可； （2）根据题意分甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入三种情况，再结合独立事件概率的乘法公式计算即可.