7.1不等式的性质 -2022届高考数学一轮复习讲义

7.1 不等式的性质 1、 学习目标 1.理解不等式的性质； 2.掌握不等式证明（比大小）的基本方法. 二、知识回顾 1.三个等价关系： ① ； ② ； ③ . 2.不等式的性质： ① （对称性）； ② ， （传递性）； ③ （可加性）； ④ ， ，或 ， （可乘性）； ⑤ ， （同向不等式可加性）； ⑥ ， （同向非负不等式可乘性）； ⑦ （可乘方）； ⑧ （可开方）. 3.不等式证明（比大小）的基本方法： ①作差法； ②作商法. 三、典例分析 例1.（1）若 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D （2）已知 ， ， 为实数，则下列结论正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ， ，则 D.若 ，则 【答案】C 例2.（1）设 ， ， ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A （2）比较 与 （ ， ）两个代数式的大小. 【答案】因为－(a＋b)＝＋ ＝. ＝＝ 又因为a>0，b>0，所以≥a＋b. ＋≥0，故 例3.（1）证明：若 ， ，则 . 【答案】由题意 ， 因为 ， ，所以 ， ，所以 ， 所以 . （2）若 ， ，且 ，求证： . 【答案】由题意 ， 当 时， ，且 ， ，即 ； 当 时， ，且 ， ，即 . 综上， . 例4.（1）若－，则α－β的取值范围是________． <α<β< 【答案】由－，α<β，得－π<α－β<0. <－β<，－<α< （2）若 ， 满足 ，则 的取值范围是_________． 【答案】　设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则 解得 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围是[1，7]． 【课外作业】 1．已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．若 ， ，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3.已知 ， ， ， 均为实数，有下列命题： （1） 若 ， ，则 ； （2） 若 ， ，则 ； （3） 若 ， ，则 ， 其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 4.设m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，则m与n的大小关系为（ ） A．m>n B．m<n C．m≥n D．m≤n 【答案】B 5．设实数x，y满足0＜xy＜1且0＜x＋y＜1＋xy，那么x，y的取值范围是（ ） A．x＞1且y＞1 B．0＜x＜1且y＜1 C．0＜x＜1且0＜y＜1 D．x＞1且0＜y＜1 【答案】选C. 解析：又x＋y＜1＋xy，所以1＋xy－x－y＞0，即(x－1)(y－1)＞0， ⇒ 所以(舍去)，所以或 6. 已知三个不等式：① ；② ；③ .以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成命题，则真命题的个数为_________． 【答案】3个 7.已知 的三边长 ， ， 满足 ， ，则 的取值范围是______． 【答案】因为b＋c≤2a，c＋a≤2b，c＞a－b，c＞b－a，所以问题等价于有解， 所以 的取值范围是，即＜＜⇒. 8．已知二次函数 的图象过原点，且 ， ，则 的取值范围是________． 【答案】因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)． 由得 所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又 所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范围是[6，10]． 9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a＞b＞c，求的取值范围． 解：因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0， 所以b＝－(a＋c)．又a＞b＞c， 所以a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0， 所以1＞－. ＞，即1＞－1－＞ 所以 的取值范围为.即＜－解得－2＜. 10.设 ， ， ，比较 与 的大小（要写出比较过程）. 【答案】记 , 因为 ，则 ， ， ， 故 ， 由于 ， ，于是 ， 所以 ，即 ，故 . $