必考点15 指数函数-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点15 指数函数 题型一 指数函数的概念 例题1(1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x. (2)若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________. 【答案】(1)③　(2)－1　2 【解析】(1)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数． (2)根据指数函数的定义，得解得 【解题技巧提炼】 判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．　　　 题型二 指数函数的定义域和值域 例题1求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝ . 【解析】(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴2≠1， ∴y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－x≥0， ∴x≤1＝0， ∴x≥0， ∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴x≤1. 又∵x＞0，∴0＜x≤1.∴0≤1－x＜1， ∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)． 【解题技巧提炼】 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． [提醒]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．　　　　 题型三 指数型函数图象 例题1(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0　　　　　　 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________． 【答案】(1)D　(2){m|m≥1或m＝0} 【解析】(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. (2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0， 即实数m的取值范围是{m|m≥1或m＝0}． 【解题技巧提炼】 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．　 题型四 指数式的大小比较 例题1比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)与； (3)1.50.3和0.81.2. 【解析】(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)指数函数y＝x与y＝x的图象(如图)， 由图知>. (3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1， 而0.81.2＜0.80＝1， ∴1.50.3＞0.81.2. 【解题技巧提炼】 题型五 解含指数型不等式 例题1求解下列不等式： (1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围； (2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围． 【解析】(1)因为－0.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5. (2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－. ②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－. 综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－. 【解题技巧提炼】 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)； 当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等