必考点14 幂函数-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点14 幂函数 题型一 幂函数的概念 例题1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】幂函数有①⑥两个． (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________. 【答案】－1 【解析】因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 【解题技巧提炼】 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数为常数． 题型二 幂函数的图象及应用 例题1(1) 若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c 【答案】B 【解析】令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合． 在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B. （2）点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)? 【解析】设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1， 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示． 由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； 当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 【解题技巧提炼】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高. 2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝或y＝x3来判断. 题型三 幂函数性质的综合应用 例题1比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）∵为上的增函数，且，∴． （2）∵为上的减函数，且，∴． （3）∵为R上的偶函数，∴． 又函数为上的增函数，且，∴，即． 【解题技巧提炼】 比较幂值大小的两种基本方法 题型一 幂函数的概念 1.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝2，则________． 【答案】4 【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝2，∴4α＝2，解得α＝，f(x)＝，则。 题型二 幂函数的图象及应用 1.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． 【解析】因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝， 得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)． 题型三 幂函数性质的综合应用 1.比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，. 【解析】(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (2)0.9＝，＝1.1. ∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>. 一、单选题 1．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（ ） A．0.5，3， B．，3，0.5 C．0.5，，3 D．，0.5，3 【答案】D 【分析】根据幂函数在第一象限内的图象与性质即可求解. 【解析】由幂函数在第一象限内的图象知， 图中对应的，对应的，对应的， 所以，解析式中指数a的值依次可以是，和3.故选：D. 2．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案. 【解析】幂函数在区间上是单调增函数，故，解得，， 当时，不满足条件； 当时，满足条件； 当时，不满足条件；故选：C. 3．下列函数在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次判断各个选项中函数的奇偶性和单调性即可. 【解析】对于A，，不是奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，是非奇非偶函数，B错误； 对于C，，是定义在上的偶函数，C错误； 对于D，，是定义在上的奇函数；又在上单调递增，则既是奇函数，又是增函数，D正确.故选：D. 4．已知函数是幂函数，且在上递增