必考点12 函数的单调性-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点12 函数的单调性 题型一 判断或证明函数的单调性 例题1求证：函数在区间上是单调递增函数． 【证明】设，且， 则　． ∵，∴．∴． 又，∴．∴，即． ∴在区间上是单调递增函数． 【解题技巧提炼】 利用定义证明函数单调性的步骤 题型二 求函数的单调区间 例题1求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 【解析】(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 【解题技巧提炼】 (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型三 函数单调性的应用 例题1f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（　　） A．a≤－3　　　　 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 【答案】A 【解析】由函数的开口向上，结合图象可知在（－∞，4]上是减函数，满足对称轴x＝1－a≥4， 由此可得a≤－3． 例题2已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】由题知解得0<a<，即所求a的取值范围是. 【解题技巧提炼】 由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 题型四 利用图象求函数的最值 例题1若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．1 C．－1 D．无最大值 【解析】在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图： 根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象． 所以当x＝1时，f(x)max＝1. 例题2求函数f(x)＝的最值． 【解析】函数f(x)的图象如图： 由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值． 【解题技巧提炼】 图象法求最值的步骤 题型五 利用单调性求函数的最值 例题1已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 【解析】(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝＝. ∵x1，x2∈[3,5]且x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0. ∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝. 【解题技巧提炼】 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 注意：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．　　 题型六 函数最值的实际应用 例题1轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k. (1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数； (2)若s＝100，p＝10，q