9.8空间向量在立体几何中的应用 -2022届高考数学一轮复习讲义

9.8 空间向量在立体几何中的应用 一、学习目标 1.能用空间向量处理线面位置关系； 2.能用空间向量求解空间角问题． 二、知识回顾 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称平行的非零向量也是直线l的方向向量． 为直线l的方向向量，与 （2）平面的法向量 ①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量． ②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 3. 用向量求解空间角 （1） 异面直线所成角： 设异面直线 ， 的方向向量分别为 ， ，则 ； （2） 直线与平面所成角： 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 ； （3）二面角：设平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 ． 3、 典例分析 例1.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点． 求证：（1）PB∥平面EFG； （2）平面EFG∥平面PBC. 【证明】　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，故AB，AP，AD两两垂直． 以A为原点，以AB，AD，AP正方向为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系A­xyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．　 于是＝(1，2，－1)，　 ＝(0，1，0)， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量， 即 因为， ·n＝0，所以n⊥＝(2，0，－2)，所以 因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG. (2)因为＝(0，2，0)， ＝(0，1，0)， 所以，所以BC∥EF. 又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ＝2 所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC. 例2如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （1） 证明：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明：平面AMC⊥平面BMC. 【证明】（1）如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系O­xyz. 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)． 于是＝(－8，0，0)， ＝(0，3，4)， 所以，即AP⊥BC. ⊥＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以· （2）由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上， 所以 ＝＝，又＝(－4，－5，0)， 所以 ＝＋＝， 则 ＝(0，3，4)··＝0， 所以，即AP⊥BM，又根据(1)的结论知AP⊥BC， ⊥ 所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC. 又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC. 例3.（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________． 【答案】 解析： 以D点为原点，以DA，DC，DD1的正方向为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E ，则 ＝＝(－1，1，0)，，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈. 〉|＝， （2）如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为（ ） A. D. C. B. 【解析】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，