专题02解三角形-测案（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

解三角形—测案 【满分：150分 时间：120分钟】 一、单项选择题（12*5=60分） 1.（2021·全国甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（　　） A.1 B. C. D.3 答案　D 解析　法一　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5（舍去）.故选D. 法二　由正弦定理＝，得sin C＝＝，从而cos C＝（C是锐角），所以sin A ＝sin [π－（B＋C）]＝sin （B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝.又＝，所以BC＝＝3.故选D. 2.已知sin θ＋sin＝1，则sin＝（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　因为sin θ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1，所以sin＝.故选B. 3.（2021·贵阳质检）在△ABC中，若asin B＝c－bcos A，则B＝（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　由asin B＝c－bcos A及正弦定理， 得sin Asin B＝sin C－sin Bcos A， 又sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B， 则sin Asin B＝sin Acos B， ∵sin A≠0， ∴＝tan B＝，得B＝. 4.（2021·合肥模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为（　　） A. B. C. D. 答案　A 解析　因为asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A， 由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccos A，① 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，② ①＋②得2a2＝b2－c2， ∴cos A＝＝＝. 又b2＋3c2≥2＝2bc，当且仅当b＝c时取等号， 所以cos A≥＝， 所以角A的最大值为. 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，a＋c＝2，则b的取值范围是（　　） A.[1，2） B.（0，2] C.[1，] D.[1，＋∞） 答案　A 解析　在△ABC中，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C. 由A＋B＋C＝π，得3B＝π，B＝. 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2ac×＝（a＋c）2－3ac＝4－3ac， 又3ac≤（a＋c）2＝3，当且仅当a＝c＝1时等号成立，即0<ac≤1. ∴1≤4－3ac<4，即1≤b2<4，解得1≤b<2. 6.（2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m）.三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为（≈1.732）（　　） A.346 B.373 C.446 D.473 答案　B 解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，则BD＝A′B′＝，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100（＋1）＋100≈373. 7．(2021·江西南昌一模，6)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b等于(　　) A. B. C. D. C　因为cos A＝，所以sin A＝＝＝， 所以sin C＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝cos 45°＋sin 45°＝. 由正弦定理＝， 得b＝×sin 45°＝. 8．(2021·山西朔州一模，6)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 8．C　由于sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，结合正弦定理可知，