第03讲 一元二次方程及其应用（考点清单）-2022年中考数学复习精讲精练（考点清单+实战训练，全国通用版）

第03讲 一元二次方程及其应用 一元二次方程 1．一元二次方程的概念及一般形式 (1)概念：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 的整式方程，叫做一元二次方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0，其中ax2叫做二次项，a是二次项的系数；bx叫做一次项，b是一次项的系数；c叫做常数项．a，b，c是任意实数，a≠0. 2．一元二次方程的解法 解法 适用方程类型 步骤 直接开平方法 (x＋a)2＝b (1)两边开方，得x＋a＝±； (2)将方程的解写成x＝±－a 因式分解法 方程一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积 (1)移项：将方程的一边化为0； (2)化积：把方程的另一边分解为两个一次因式的积； (3)转化：令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式； (2)确定a，b，c的值； (3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝得x1，x2；若b2－4ac<0，则方程无实数根 配方法 x2＋px＋q＝0(p为偶数) (1)若二次项系数不为1，先把系数化为1再配方； (2)把常数项移到方程的另一边，即x2＋px＝－q； (3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2＋px＋＝－q＋； (4)把方程整理成＝－q＋的形式； (5)运用直接开平方法解方程 选择一元二次方程解法的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法． 3．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)根的判别式 b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝ b2－4ac . a．Δ>0时，方程有 两个不相等 的实数根； b．Δ＝0时，方程有 两个相等 的实数根； c．Δ<0时，方程 没有 实数根． (2)根与系数的关系(选学)：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2， 那么x1＋x2＝ － ，x1x2＝ ． 解一元二次方程 1. 设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜ 【解析】解：2x2﹣4x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，利用求根公式可得:x＝， ∵x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根， ∴x1＝＝1﹣， ∵5＜＜6， ∴﹣1＜x1＜0,故选B． 2. 一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（　　） A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0 【解析】解：2x2﹣2x﹣1＝0，，利用求根公式可得:x＝， 设a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根， ∴a＝， ∵1＜＜2， ∴2＜1+＜3，即1＜a＜，故选C． 3. 解方程：x（x+2）＝0． 【解析】解：∵x＝0或x+2＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 4. 解方程：x2－2x＝4. 【解析】解：两边都加上1，得x2-2x＋1＝4＋1， 即(x-1)2＝5， 开平方，得x-1＝±， ∴原方程的解是x1＝1＋，x2＝1-. 5. 解方程：x2－2x＝2x＋1. 【解析】解：方程化为x2－4x－1＝0. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x＝＝2±， ∴x1＝2－，x2＝2＋. 一元二次方程根的判别式的应用 1. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根C. 无实数根 D. 不能确定 【解析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可，解：， 因为△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8， ∵(k+1)2≥0， ∴(k+1)2+8>0，即△>0， ∴方程有两个不相等实数根，故选A. 2. 若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A. －1 B. 1 C. －2或2 D. －3或1 【解析】原方程化为x2＋(a＋1)x＝0，∵该方程有两个相等的实数根，∴(a＋1)2－4×1×0＝0，解得a1＝a2＝－1，故选A. 3. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　） A．6 　　　　B．5 　　　　C．4 　　　　D．3 【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，解：∵a