9.7空间向量 -2022届高考数学一轮复习讲义

9.7 空间向量 一、学习目标 1.了解空间向量的相关概念； 2.理解共面向量定理和空间向量基本定理 3.体会空间向量与平面向量的区别. 二、知识回顾： 1.空间向量基本定理：若三个向量不共面，那么对于空间中任一向量 ，存在有序实数组 ，使得 ，其中{ ， ， }叫做空间向量的一个基底． 2.共面向量定理：若两个向量 ， 不共线，则向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使得 . 3.四点共面的判定： 对空间任意一点 和不共线三点 ，若满足 ， 则 四点共面 . 3、 典例分析 例1.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简＝________． ，则表示，，＝________．(2)用－－ 【答案】(1)． ＋＋；　(2) 解析：(1). ＝＋＝－)＝＋(－＝－－ (2)因为)＋＋(＝＋＝)．所以＋(＝＝ ＝. ＋＋ 例2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内． ，，)．(1)判断＋＋(＝ 【答案】(1)由题知)， －)＋(－＝(－，所以＝3＋＋ 即共面． ，，，所以－＝－＋＝ (2)由(1)知，共面且基线过同一点M， ，， 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 例3.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求夹角的余弦值． 与的长； (2)求 【答案】　(1)记＝c， ＝b，＝a， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. |＝6， |2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2× 所以|. |＝ (2)， |＝，||＝＝a＋b， 所以|＝b＋c－a， ＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， · 所以cos〈. 夹角的余弦值为与. 即＝〉＝， 例4.（1）已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为（ ） A．－2 B．－ D．2 C. 【答案】D （2）已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6