9.6空间角 -2022届高考数学一轮复习讲义

9.6 空间角 一、学习目标 1. 理解空间角的概念与范围； 2. 掌握求空间角的基本方法和基本步骤． 2、 知识回顾 1.空间角的概念： 空间角 定 义 图 示 范 围 异面直线所成角（线线角） 设 ， 是两条异面直线，经过空间任意一点 作直线 ， ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做是异面直线 与 所成的角（或夹角） 直线与平面所成角（线面角） 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 其中规定当 或 时， ，当 时， 二面角 过二面角 的棱 上一点 在两个半平面内分别作 ， ，则 叫做二面角 的平面角 2.传统法求空间角的一般步骤： ①找角； ②证角； ③算角． 三、典例分析 例1.（1）在正方体 中， 分别是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是_________，异面直线 与 所成角的余弦值是_________． （2）如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ． 【答案】（1） ， ； （2） ． 例2.（1）如图1，在正三棱柱 中，已知 ， 在棱 上，且 ，若 与平面 所成的角为 ，则 _________． （2）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为_________． （3） 如图，三棱锥 中，侧面 底面 ， ， ，则 与平面 所成角的大小为_________． 【答案】（1） ； （2） ； （3） ． 例3.（1）如图，在二面角 中， ， ， ， ， ， ，且 ， ，则二面角 的大小为__________． （2）如图，在三棱锥 中，底面 是正三角形， 平面 ，且 ，则二面角 的正切值为__________． （3）如图， 为正方体 的棱 的中点，则平面 和底面 所成锐二面角的余弦值为__________． 【答案】（1） ； （2） ； （3） ． 例4.如图，在四棱锥中，平面平面 ， ， ， ， ． （1）证明：平面； （2）求 与平面 所成的角的正切值； （3）求二面角 的大小． 【答案】（1）连结 ，在直角梯形 中，由 ， 得 ， 由 得 ，