解密01 函数及其性质（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密01 函数及其性质 内容索引 核心考点1 分段函数问题图像问题 核心考点2函数奇偶性与周期问题 核心考点3 函数图形交点问题 高考考点 命题趋势 高考考点 考查频率 函数的定义域与值域 从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点. 本节内容在高考中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，与导数相结合以解答题的形式考查函数的性质，难点在于奇偶性与函数的周期性相结合。. 分段函数 函数的图象 2019课标全国III 7 2018课标全国Ⅱ 3 ★★★ 函数的性质 2021年新课标II 8 2020课标全国Ⅰ13 2020课标全国Ⅰ12 2020课标全国Ⅱ 9 2020课标全国Ⅲ 12 2019课标全国II 14 ★★★★★ 核心考点一 函数的定义域与值域 题组一 求函数的定义域 ☆技巧点拨☆ 求函数的定义域 求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少． 对于抽象函数， （1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． （2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 例题1 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A：因为，所以，解得或，即函数的定义域为故选：A 例题2已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ） A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D． 【答案】C 【分析】由题设，若，则， ∴对于有，故其定义域为.故选：C 例题3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B由，得， 所以，所以．故选：B． 例题4．已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】C因为，且的定义域为，，值域为，， 则的定义域为，，值域为，，由得， 所以的定义域为，，值域为，，则，，，，所以.故选：C. 核心考点二 求函数的值域 ☆技巧点拨☆ 求函数值域的常用方法 求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到； ②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了； ④换元法：对于一些无理函数(如)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域； ⑤利用常见函数的值域； ⑥数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域； ⑦单调性法； ⑧基本不等式法； ⑨判别式法； ⑩导数法. 例题1．函数的最大值是___． 【答案】 由题意，函数， 令，则，所以， 根据二次函数的性质，可得当时，， 即函数的最大值为. 故答案为：. 例题2．若函数的值域为，则的值为__________. 【答案】 关于的方程在上有解，若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、，由韦达定理可得，解得.综上所述，.故答案为：. 例题3．函数的值域为________. 【答案】 令，则，故， 由于，∴，，∴，即函数的值域为， 故答案为：. 核心考点三 分段函数 ☆技巧点拨☆ 解决分段函数问题的注意事项 分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的. 例题1．函数，则的值为________. 【答案】 【分析】由题知，，则故答案为：27 例题2．．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为. ∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标， 由图知：，且， ∴(注意基本不等式的等号不能取)，又， ∴：由对勾函数的单