专题3 抛物线-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第九章 圆锥曲线 专题3 抛物线 【三年高考精选】 1.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 【答案】 【分析】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 3．（2021年全国高考乙卷数学试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 所以直线的斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. 4.（2019年全国统一高考数学试卷新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为： 联立得： 则 ， ， 则 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ） 抛物线的性质、定义 直观想象 熟练掌握抛物线的性质、定义 2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 抛物线的性质、准线方程 直观想象、数学运算 熟练掌握抛物线的性质 2021年全国高考乙卷数学试题 抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系 直观想象、数学运算 熟练掌握抛物线的性质，直线的斜率、基本不等式 2019年全国统一高考数学试卷新课标Ⅰ 抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系，弦长 直观想象、数学运算 熟练掌握抛物线的性质，弦长公式 命题 规律 总结 高考对不等关系与不等式的解法、基本不等式以及应用的考查有三种主要形式：一是直接考查不等式的性质；二是线性规划；三是用基本不等式求最值.从涉及的知识上讲,常与函数、方程、不等式等知识相联系,小题目综合化是这部分内容的一种趋势. 【2022年高考预测】 预测2022年高考会考查不等式的性质、线性规划，基本不等式可能单独成题考查也可能与其它知识交汇考查． 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式 由前三年的高考命题形式,在2022年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习,关于集合2022高考备考主要有以下几点建议: 1. 【2022年考点定位】 考点1 抛物线的定义与方程 例1.（北京市第八中学2022届高三10月月考）已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设点，其中，利用抛物线的定义可求得的值，即为所求. 【详解】 设点，其中，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，，解得. 故选：D. 【规律方法技巧】 （1）求抛物线的标准方程的方法： ①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． ②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． （2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径． 【考点针对训练】以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12＝0上的抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝16x或x2＝﹣12y B．y2＝16x或x2＝12y C．y2＝-16x或x2=12y D．y2＝﹣12x或x2＝16y 【答案】A 【分析】 求出直线与坐标轴的交点坐标，分类写出抛物线方程． 【详解】 因为其焦点在坐标轴上，所以其焦点坐标即为直线3x﹣4y﹣12＝0与坐标轴的交点 所以其焦点坐标为（4，0）或（0，﹣3）， 当焦点为（4，0）时可知其方程中的＝8，所以其方程为