《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3讲解与例题：第一章 计数原理（5份）

1.3　二项式定理 1.3.1　二项式定理 问题导学 一、二项式定理的直接应用 活动与探究1 求4的展开式． 迁移与应用 1．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝__________． 2．(2013安徽合肥模拟)求4的展开式． 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便． 二、二项展开式中特定项、项的系数 活动与探究2 1．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________． 2．在6的二项展开式中，x2的系数为(　　) A．－ D． C．－ B． 迁移与应用 1．(2012天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为(　　)． A．10 B．－10 C．40 D．－40 2．求二项式10的展开式中的常数项．[来源:学.科.网] 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)． (1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．[来源:学科网] 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题) 活动与探究3 试判断7777－1能否被19整除． 迁移与应用 1．9192除以100的余数是__________． 2．证明：32n＋2－8n－9是64的倍数． 用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】 1．(2)n＋1　(3)C 2．Can－kbk 预习交流　(1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；③通项公式Tr＋1＝C·22＝12．＝3，而该项的系数为C叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为Can－rbr指的是第r＋1项，不是第r项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C (2)提示：B (3)提示：21　－84　－448x5 课堂·合作探究 【问题导学】 活动与探究1　思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开． 解法一：． ＋4＝81x2＋108x＋54＋)0(33＋C)(32＋C)2(3＋C)3·(30＋C)4(34＝C 解法二：4＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋． ＋ 迁移与应用　1．x5－1　解析：原式＝C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． (x－1)＋C(x－1)2＋C(x－1)3＋C(x－1)4＋C(x－1)5＋C 2．解法一：4[来源:Zxxk.Com]3＋C2－C)2·(＋C)3·()4－C(4＝C ＝x2－2x＋． ＋－ 解法二：44＝ ＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋． ＋－ 活动与探究2　1．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可． 4　解析：由二项式定理可知 令6－3r＝0，得r＝2， ∴T3＝C)2＝60． (－ ∴15a＝60．∴a＝4． 2．思路分析：利用二项展开式的通项公式求． C　解析：设含x2的项是二项展开式中第r＋1项， 则Tr＋1＝Cr6－r· ＝C6－r(－2)rx3－r． 令3－r＝2，得r＝1． ∴x2的系数为C． 5(－2)＝－ 迁移与应用　1．D　解析：Tr＋1＝ (2x2)5－r· r＝(－1)r25－rx10－3r， ∴当10－3r＝1时，r＝3． ∴(－1)325－3C＝－40． 2．解：设第r＋1项为常数项，则 Tr＋1＝C r＝C(x2)10－r··r(r＝0,1，…，10)． 令20－． 8＝·r＝0，得r＝8，∴T9＝C ∴第9项为常数项，其值为． 活动与探究3　思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开． 解：7777－1＝(76＋1)77－1 ＝7677＋C－1 ·76＋C·7675＋…＋C·7676＋C ＝76(7676＋C)． 7674＋…＋C7675＋C 由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除． 迁移与应用　1．81　解析：∵9192＝(9