《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3讲解与例题：第二章 随机变量及其分布（8份）

2.3　离散型随机变量的均值与方差 2.3.1　离散型随机变量的均值 问题导学 一、求离散型随机变量的均值(数学期望) 活动与探究1 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及数学期望． 迁移与应用 1．随机变量X的分布列为 X －1 0 1[来源:Zxxk.Com] P 则E(X)等于(　　) A．－ D．1 C． B．－ 2．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数学期望． 求离散型随机变量ξ的均值的步骤： (1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； (2)求出ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列；[来源:Zxxk.Com] (4)利用定义求出均值． 二、离散型随机变量的期望的性质 活动与探究2 已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P m 若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 迁移与应用 1．设E(ξ)＝10，则E(3ξ＋5)＝(　　) A．35 B．40 C．30 D．15 2．设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P ，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝__________． 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)． 三、二项分布的均值及其应用 活动与探究3 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响． (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望． 迁移与应用 某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？ (1)如果随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)． (2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则E(X)＝np，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． 四、数学期望的应用 活动与探究4 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B．已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值． (2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3　5　3　3　8　5　5　6　3　4 6　3　4　7　5　3　4　8　5　3 8　3　4　3　4　4　7　5　6　7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：(1)产品的“性价比”＝； (2)“性价比”大的产品更具可购买性． 迁移与应用 1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是： X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P[来源:学|科|网Z|X|X|K] 0.5 0.3 0.2 0 据此判定(　　) A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定． 2．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元．两