5.1 导数的概念及其意义-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 第五章：一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 【考点梳理】 大重点一：变化率问题和导数的概念 考点一：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为. ＝ 的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，.如果Δt无限趋近于0时，＝ 考点二　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． ＝，即 考点三　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或无限趋近于一个确定的值，即，即f′(x0)＝. ＝ 大重点二：导数的几何意义 考点四　导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是. ＝ 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 考点五　导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝. 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 1．（2021·全国·高二课时练习）函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是（ ） A．2＋Δx B．2－Δx C．2 D．(Δx)2＋2 2．（2021·江苏·高二专题练习）若函数 在区间 上的平均变化率为 ，在区间 上的平均变化率为 ，则（ ） A． B． C． D． 与 的大小关系与 的取值有关 3．（2021·江苏·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段 ， ， 上的平均速度分别为 ， ， ，则三者的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型二：瞬时变化率理解 4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数 ，则用平均变化率估计 在 处的瞬时变化率为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2021·全国·高二课时练习）已知物体做自由落体的运动方程为 ，且 无限趋近于0时， 无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（ ）． A．物体在0~1s这一段时间内的速度 B．物体在 这一段时间内的速度 C．物体在1s这一时刻的速度 D．物体从1s到 这一段时间内的平均速度 6．（2021·全国·高二课时练习）一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型三：导数（导函数）的理解 7．（2021·江苏·高二专题练习）设 在 处可导，则 （ ）． A． B． C． D． 8．（2021·江苏·高二专题练习）函数 在 处的导数可表示为 ，即（ ）． A． B． C． D． 9．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数 ，则 的值为（ ） A． B． C．10 D．20 题型四：导数定义中的极限的简单计算 10．（2021·江苏·高二课时练习）若 ，则 （ ） A．－4 B