第1篇 正弦定理和余弦定理（最新修改版）

第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 （1）在△ABC中，A＋B＋C＝ ；a＋b c，a－b<c；a>b⇔sin A sin B⇔A B； （2）三角形面积公式：S△ABC＝ acsin B＝absin C＝ah＝ ； （3）在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或 ⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C， ，sin .＝cos 二、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 变形 形式 ① ， ， ； ② ， ， ； ③ ； ④ . ； ； 解决 的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型 （1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解； （2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在 中，已知 、 和角 时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图 形 关系式 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 上表中， 为锐角， 时，无解； 为钝角或直角时， 或 均无解. 【典例归纳】 考点1 利用正、余弦定理解三角形 【例1】（1）在△ABC中： （1） ， ， ，求 ； （2） ， ， ，求 ； （3） ，求角 、 、 ； （4） ， ， ，判断 的形状. 解：（1）由正弦定理得 ，又 得， . （2）由正弦定理得， ，故 （3）令 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 由余弦定理的推论得 ，同理 ， ， ， ， . （4） ， 最大 由余弦定理的推论得 ， 为钝角三角形. 【变式1】 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 .已知 ， ，求 . 【变式2】 中， 是 所对的边，且 . （1）求 的大小；（2）若 ， 的面积 ，求 的值. 【变式3】已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边， . （1）求 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 ， . 方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同