专题07 锐角三角函数的实际应用-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题07 锐角三角函数的实际应用 考向1 仰、俯角问题 【母题来源】2021年中考郴州卷 【母题题文】如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度． （参考数据：1.41，1.73，2.24．结果精确到0.1米） 【试题解析】过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示： 则四边形AMBN是矩形， ∴AN＝BM，BN＝MA， ∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2， ∴设BM＝x米，则AM＝2x米， ∴ABx＝105，∴x＝21， ∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米）， 在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°， ∴△BCN是等腰直角三角形， ∴CN＝BN＝42（米）， ∴AC＝AN+CN＝214263141.1（米）， 答：观光电梯AC的高度约为141.1米． 【命题意图】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识． 【命题方向】考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键，一般安排在解答题的中档位置． 【得分要点】解决锐角三角函数实际应用题的一般步骤: (1)审题:弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等概念,将实际问题转化为数学问题; (2)构造直角三角形:有时需要通过作辅助线,或分割成直角三角形和矩形; (3)解直角三角形:根据已知条件,选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (4)检验:检验得到符合实际要求的解,并按题目要求的精确度确定答案. 考向2 坡角、坡度问题 【母题来源】2021年中考巴中卷 【母题题文】学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，1.73．） （1）求灯杆AB的高度； （2）求CD的长度． 【试题解析】（1）延长BA交CG于点E， 则BE⊥CG， 在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m， ∴AEAC12＝6（m），CE＝AC•cosα＝126（m）， 在Rt△BCE中，∠BCE＝60°， ∴BE＝CE•tan∠BCE＝618（m）， ∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）； （2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°， ∴CD＝DE﹣CE624.9（m）． 【命题意图】解直角三角形及其应用；应用意识． 【命题方向】考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键，一般安排在中档题位置． 【得分要点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 考向3 方向角问题 【母题来源】2021年中考遂宁卷 【母题题文】小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向． （1）求∠C的度数； （2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）． 【试题解析】（1）设AD与BC交于点F， 由题意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBF＝60°， ∴∠BFA＝∠EBF＝60°， ∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°， ∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°； （2）过点B作BG⊥AD于G． ∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°， 在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°， AG＝BG＝20×sin45°（米）， 在Rt△BGF中，∠BFG＝60°， ∴BF（米），FG（米）， ∵∠C＝∠CAD＝30°， ∴CF＝AF＝AG+FG＝（10）（米）， ∴BC＝BF+CF＝（1010）米， 答：两棵银杏树B、C之间的距离为（1010）米． 【命题意图】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【命题方向】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问