9.4空间中点线面的位置关系 -2022届高考数学一轮复习讲义

9.4 空间点线面的位置关系 【学习目标】 1. 理解四个公理，能应用四个公理处理相关位置关系问题； 2. 了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，会判断空间中的线面位置关系. 【知识回顾】 1、 四个公理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 二、空间中点、直线、平面的位置关系： 1.空间直线的位置关系： ； 2.直线与平面位置关系： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 线在面内 无数个 线在面外 线面平行 0个 线面相交 1个 3.平面与平面位置关系： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 面面平行 0个 面面相交 无数个 【典例分析】 例1.（1）下列各图是正方体或正四面体， 、 、 、 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ） A．B．C．D． （2）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为（ ） A．相交　　 　B．平行 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 答案：（1）D； （2）D. 例2.（1）设有平面 和任意直线 ，则在 内必有直线 ，使 与 （ ） A．平行线 B．相交 C．互为异面直线 D．垂直 （2）对两条不相交的空间直线 和 ，必存在平面 ，使得（ ） A. B. C. D. 答案：（1）D ; （2）B. 例3.如图，在正方体 中，点 、 分别是 和 的中点. （1）求证： 、 、 、 四点共面； （2）求证： 、 、 交于一点. 答案：（1）如图1所示，连接CD1、EF、A1B，因为点E、F分别是AB和AA1的中点， 所以EF∥A1B，又因为A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所以EF与CD1确定一个平面α，所以E、F、C、D1∈α， 即E、C、D1、F四点共面． （2）如图，由（1）知EF∥CD1，且EF＝CD1，所以四边形CD1FE是梯形， 所以CE与D1F必相交，设交点为P， 则P∈CE，且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD， 所以CE、D1F、DA三线交于一点． 例4.（1）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C ∉ l，则平面ABC与平面β的交线是（ ） A．直线AC　　 B．直线AB C．直线CD D．直线BC （2）正方体 的棱长为2， 是棱 的中点，则平面 截该正方体所得的截面图形是什么？截面面积是多少？ 答案：（1）C； （2）如图截面为菱形 ， . 【课外作业】 1.在正方体 中， 、 分别为 、 的中点，则下列直线中与直线 相交的是（ ） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 2.如图，在四面体中，若直线 和 相交，则它们的交点一定（ ） A．在直线 上 B．在直线 上 C．在直线 上 D．以上都不对 3. 若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ） A. 内存在直线与 异面 B. 内存在与 平行的直线 C. 内存在唯一的直线与 平行 D. 内的直线与 都相交 4.已知空间中不过同一点的三条直线 “ 共面”是“ 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A． 与 ， 都不相交 B． 与 ， 都相交 C． 至多与 ， 中的一条相交 D． 至少与 ， 中的一条相交 6.如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的中点，则（ ） A． ，且 ， 是相交直线 B． ，且 ， 是相交直线 C． ，且 ， 是异面直线 D． ，且