专题11二次函数压轴题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题11 二次函数压轴探究 考向1 线段问题 【母题来源】2021年中考东营卷 【母题题文】如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx+2过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：△AOC∽△ACB； （3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值． 【试题解析】解：（1）∵直线yx+2过B、C两点， 当x＝0时，代入yx+2，得y＝2，即C（0，2）， 当y＝0时，代入yx+2，得x＝4，即B（4，0）， 把B（4，0），C（0，2）分别代入yx2+bx+c， 得，解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）∵抛物线yx2x+2与x轴交于点A， ∴x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， ∴AO＝1，AB＝5， 在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC， ∴， ∵，∴， 又∵∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB； （3）设点D的坐标为（x，x2x+2）， 则点E的坐标为（x，x+2）， ∴DEx2x+2﹣（x+2） x2x+2x﹣2 x2+2x（x﹣2）2+2， ∵0，∴当x＝2时，线段DE的长度最大， 此时，点D的坐标为（2，3）， ∵C（0，2），M（3，2）， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小， 连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2）， ∴CD， ∵PD+PM＝PC+PD＝CD，∴PD+PM的最小值为． 【命题意图】函数思想；应用意识． 【命题方向】本题考查二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定等，一般为压轴题目。 【得分要点】二次函数综合题中线段问题的解题通法: (1)线段的数量关系问题: ①在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度; ②结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值). (2)线段的最值问题: ①一条线段的最值问题,根据(1)①中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值; ②两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决. (3)周长的最值问题:一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题. 考向2 面积问题 【母题来源】2021年中考内江卷 【母题题文】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）． （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 【试题解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵D（4，3）在抛物线上， ∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a， ∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣6）x2+x+3， ∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3）， 设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 则，解得，， ∴直线l的解析式为yx+1； （2）如图1中，过点P作PT∥y轴交AD于点T．设P（m，m2+m+3），则T（m，m+1）． ∵S△PAD•（xD﹣xA）•PT＝3PT， ∴PT的值最大值时，△PAD的面积最大， ∵PTm2+m+3m﹣1m2m+2（m﹣1）2，∵0， ∴m＝1时，PT的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6）， 设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°， ∵D（4，3），∴直线DT的解析式为yx， ∴Q（0，），作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6）， 则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9， 设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）． 【命题意图】二次函数图象及其性质；推理能力 【命题方向】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 【得分要点】二次函数综合题中面积问题的