专题10类比、拓展探究题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题10 类比、拓展探究题 考向1 图形旋转引起的探究 【母题来源】2021年中考日照卷 【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 　30°　． （2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸： 在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 　　． 【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA， ∴cos∠ABD， 如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H， ∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°， ∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA， ∴，∠BDF＝∠BAE， 又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°， ∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°， 故答案为：，30°； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H， ∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF， 又∵，∴△ABE∽△DBF， ∴，∠BDF＝∠BAE， 又∵∠DOH＝∠AOB， ∴∠ABD＝∠AHD＝30°， ∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°． 拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G， ∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°， ∴BE，AD＝2，DB＝4， ∵∠EBF＝30°，EF⊥BE， ∴EF＝1，∵D、E、F三点共线， ∴∠DEB＝∠BEF＝90°， ∴DE， ∵∠DEA＝30°，∴DGDE， 由（2）可得：， ∴，∴AE， ∴△ADE的面积AE×DG； 如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G， 同理可求：△ADE的面积AE×DG； 故答案为：或． 【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。 【命题方向】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键，一般为压轴题型。 【得分要点】类比、拓展探究题的解题通法: 1.类比、拓展探究题一般会有三问,每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用,解题的一般思路: (1)第一问通过操作发现,找到解决问题的思路和方法; (2)第二问通常是在第一问的基础上,改变其中的一个条件,只需观察改变的条件,即可利用同样的思路解决问题; (3)第三问通常将原题中的特殊情况推广到一般情况,利用前两问的做题思路进行求解. 2.关于探究两条线段之间的数量关系: (1)两条线段相等,通常通过特殊四边形和三角形全等来证明. (2)两条线段有倍数关系,通常通过构造基本图形模型来证明: ①利用三角形的中位线或含有30°角的直角三角形证明2倍关系; ②利用等腰直角三角形证明倍关系; ③利用含有30°角的直角三角形证明倍关系. 3.关于探究两条线段之间的位置关系: (1)平行,通常用以下方法进行证明: ①平行线判定定理; ②平行四边形对边平行; ③三角形中位线的性质. (2)垂直,通常用以下方法进行证明: ①两线段所在直线夹角为90°; ②两线段是矩形的邻边; ③两线段是菱形的对角线; ④勾股定理的逆定理; ⑤等腰三角形三线合一的性质. 考向2 动点引起的探究 【母题来源】2021年中考重庆卷 【母题题文】在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF． （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BHBF； （2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NPMP最小时，直接写出△DPN的面积． 【试题解析】（1）①过D作DH⊥GC于H，如图： ∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C， ∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等边三角形， ∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF， ∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC， ∴∠DCF＝180°﹣∠BD