专题06特殊四边形及圆的相关证明与计算-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题06 特殊四边形及圆的相关证明与计算 考向1 与圆有关的证明与计算 【母题来源】2021年中考内江卷 【母题题文】（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积； （3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长． 【试题解析】（1）证明：如图，连接OD， ∵，∴∠CAD＝∠DAB， ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE， ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵OD∥AE， ∴△OGD∽△EGA，∴， ∵，⊙O的半径为2， ∴，∴AE＝3， 如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE， ∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB， ∴△AED∽△ADB，∴， 即，∴AD＝2， 在Rt△ADB中，cos∠DAB， ∴∠DAB＝30°， ∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°， ∵OD＝2，∴DF2， ∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB2×22； （3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE， 在Rt△AEM中，AM＝AE•cos60°＝3，EM＝AE•sin60°， ∴MB＝AB﹣AM＝4，∴BE． 【命题意图】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力。 【命题方向】考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【得分要点】解决与圆有关的证明与计算的常用方法: (1)有切线时,一般连接圆心与切点,利用切线的性质、圆周角定理及其推论等解决问题. (2)判断直线是圆的切线有两种方法: ①如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心,证明直线与半径垂直,即“有交点,作半径,证垂直”; ②如果直线与圆没有明确的交点,则过圆心作该直线的垂线,证明垂线段等于半径,即“无交点,作垂直,证相等”. (3)证明线段相等时,一般通过证三角形全等或“等角对等边”或等量代换等来解决. (4)求线段的长度,一般通过勾股定理、相似三角形、解直角三角形等来解决. 考向2 圆背景下的特殊四边形的动态探究问题 【母题来源】2021年中考通辽卷 【母题题文】（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数． 【试题解析】（1）证明：连接OD， ∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB， 即∠PAO＝90°，∵OP∥BD， ∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP， ∵OD＝OB， ∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP， 在△AOP和△DOP中， ∴△AOP≌△DOP（SAS）， ∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°， ∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD， ∵OD过O，∴PD是⊙O的切线； （2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP， ∴PA＝PD，∵四边形POBD是平行四边形， ∴PD＝OB，∵OB＝OA， ∴PA＝OA，∴∠APO＝∠AOP， ∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°． 【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【命题方向】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键． 【得分要点】圆背景下特殊四边形动态探究题的考查方式与解题方法: (1)常见的考查方式: ①通过线段的长判定四边形的形状; ②通过角度的大小判定四边形的形状. (2)解此类题的一般方法: ①假设四边形为所要求的特殊四边形; ②根据特殊四边形的性质,结合已知条件,求出相关线段的长度或角的度数; ③检验所求线段的长度或角的度数是否满足题意. 考向3 四边形背景下的特殊四边形的动态探究问题 【母题来源】2021年中考青岛卷 【母题题文】已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cms．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当PQ⊥BD时，求