精讲01 数列的概念及函数特性-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版选择性必修第二册）

精讲01 数列的概念及函数特性 【题型解读】 【题型精讲】 【题型一　数列的概念】 必备技巧 数列通项的应用 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 例1　 （2021·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（ ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，1，0，1，…是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【解析】 A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误； B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误； C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误； D由数列的通项an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即数列{}是递增数列，故D正确； 故选：D． 例2　（2021·全国·高二专题练习）已知数列{an}的通项公式，则a2a3的值是（ ） A．70 B．28 C．20 D．16 【答案】D 【解析】 依题意，，，则， 所以a2a3的值是16. 故选：D 例3　（2021·全国·高二专题练习）已知数列. （1）求这个数列的第10项； （2）是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间(0，1)内． 【答案】（1）；（2）不是，答案见解析；（3）证明见解析． 【分析】 （1）取n＝10代入通项即可求解； （2）令得9n＝300.此方程无正整数解，即可判断结果； （3）由于an＝＝＝1－，即可证明． 【解析】 设f(n)＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝． (2)令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝＝＝1－，又n∈N*， ∴0<<1，∴0<an<1.即数列中的各项都在区间(0，1)内． 【题型精练】 1. （2021·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ） ①数列1，2，3可以表示成，2，； ②数列，0，1与数列1，0，是同一数列； ③数列的第项是； ④数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】 解：对于①，是集合，不是数列，故选项①错误； 对于②，数列是有序的，故数列，0，1与数列1，0，是不同的数列，故选项②错误； 对于③，数列的第项是，故选项③正确； 对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确． 故选：． 2. （2021·贵州·北京师范大学贵阳附属中学高二月考）已知数列3，5，7，9，……，，则17是这个数列的（ ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【解析】 由题设，，可得，故17是这个数列的第8项. 故选：B 3. （2021·山西省长治市第二中学校高二期中）已知数列，则是这个数列的（ ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】B 【解析】 数列 通项公式为， 当， 解得， 故选：B. 【点睛】 本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题. 【题型二　已知项求通项】 必备技巧 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 例4　（2021·全国·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式. （1），，，，…； （2）2，3，5，9，17，33，…； （3），，，，，…； （4）1，，2，，…； （5），，，，…. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】 通过观察数列各项之间的关系，整理变形即可得出数列的通项公式. 【解析】 （1）∵第项的符号为，分子都是1，分母是，∴. （2）∵，，，，，，…，∴. （3）∵，，，，…，∴. （4）∵，，，，…，∴. （5）∵，，，，…，∴. 【题型精练】 1.（多选）（2021·全国·高二课时练习）已知，给出4个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 根据数列的概念、通项公式的定义，逐项分析验证即可求解. 【解析】