第3课（B培优）数列-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第3课：数列 教学目标 1、理解数列、递增递减数列概念，结合数列单调性解答相关最值项问题； 2、能根据题意找出数列递推关系式，再求数列通项公式，能根据数列递推关系式的特点，选择合适的方法； 3、掌握错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法，会结合通项公式特点判断用什么求和方法； 重 点 1、等差数列、等比数列的求和公式 2、数列中函数的思想 3、错位相减法、裂项相消法、分组求求数列前项和的方法 难 点 数列求通项、数列求和方法的灵活运用 （一）数列的概念 知识梳理 1、 数列及其相关概念 1）定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项 都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，… ，第项，… 注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列 的项可以重复出现。 2）数列的一般形式可以写成：其中是数列的第项，是的序数，上面的数列 可简单记作。 3）函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数 函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即递增⇔对任意的都成立．类似地，有递减⇔对任意的都成立. 2、数列的表示方法 解析法、图像法、列举法、递推法. 3、 数列的分类 有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列； 1. 有穷数列:项数有限. 2. 无穷数列：项数无限. 3.递增数列:对于任何,均有；其中严格递增数列为，对于任何,均有； 4.递减数列:对于任何,均有；其中严格递减数列为，对于任何,均有. 5.摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,1, ……. 6.常数数列:对于任何,均有；例如:6,6,6,6,……. 4、数列的通项公式 定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式. 注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，… ；它的通项公式可以是 ，也可以是. 例题精讲 【例1】（1）下列叙述正确的是（ ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，1，0，1，…是摆动列 D．数列是严格递减数列 【难度】★★ 【答案】C 【解析】A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误； B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误； C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…是摆动数列，故C正确； D由数列的通项an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即数列{}是严格递增数列，故D不正确；故选：C． （2）对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【难度】★★★ 【答案】C 【解析】①：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确； ②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确； ③：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误； ④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，， 若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确．故选：C． 【例2】对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【难度】★★★ 【答案】A 【解析】由题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an， ∴y＝f(x)在x∈(0,1)上的图象，任意一点(x,y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选：A． 【例3】已知数列{an}的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有（ ） ①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－