专题16 数列放缩证明不等式必刷100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)

专题16 数列放缩证明不等式必刷100题 任务一:邪恶模式(困难)1-100题 提示:几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ； （10） ； （11）； （12）. 一、单选题 1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）． A． B． C． D．3 5．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时，则 D．当时，则 第II卷（非选择题） 二、解答题 6．已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，证明：. 7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证：. 8．已知等差数列的前n项和为，且，又． 求数列的通项公式； 若数列满足，求证：数列的前n项和． 【答案】（1）（2）证明见解析 9．已知等差数列满足，，的前n项和为． （1）求及； （2）记，求证：． 10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比． （1）求数列的通项公式； （2）设，证明对任意的，恒成立． 11．已知数列{an}的前n项和为 Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…． （Ⅰ）求数列 {an} 的通项公式； （Ⅱ）求数列 {bn} 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于 n∈N*，． 12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若 （1）当时，试比较与的大小； （2）记试证. 13．已知数列满足． ⑴求; ⑵求数列的通项公式； ⑶证明： 14．数列满足：；数列满足：，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设，证明：； （3）设，证明：. 15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题. 已知数列的前n项和为，___________. （1）求数列的通项公式和前n项和； （2）设，数列的前n项和记为，证明：. 16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，. 17．已知数列中，， （1）求的通项公式； （2）设， ，求证： 18．数列满足，是的前n项的和，． （1）求； （2）证明：． 19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且， （1）求证：； （2）求证：． 20．已知数列的首项，，、、． （1）证明：对任意的，，、、； （2）证明：. 21．已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，证明：. 22．已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，证明：当时，. 23．已知数列的前n项和为，若. （1）求通项公式； （2）若，为数列的前n项和，求证：. 24．已知数列满足，，. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：，. 25．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 26．已知数列的前n项和为，，． （1）求证为等比数列； （2）求证：． 27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求证：对于任意的，. 28．已知数列满足，，，. （1）（i）证明：数列是等差数列； （ii）求数列的通项公式； （2）记，，，证明：当时，. 29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. （3）若数列满足，求证：. 30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 31．已知数列满足，的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 32．已知数列，满足， （1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）若， （i）求证：； （ii） 33．已知数列满足，， （1）求; （2）若数列满足，，求证：． 34．设等差数列的前项和为，. （1）求与； （2）设，证明：. 35．已知数列满足：，，. （1）求证是等差数列并求； （2）求数列的前项和； （3）求证：. 36．已知数列满足，