专题22 二次函数与等腰直角三角形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题22 二次函数与等腰直角三角形存在问题 1．（2021·湖南怀化·中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2021·云南昆明·中考三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式及点，的坐标； （2）在平面直角坐标系中，是否存在点，使是等腰直角三角形?若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线下方，作正方形，并将沿对称轴平移个单位长度（规定向上平移时为正，向下平移时为负，不平移时为0），若平移后的抛物线与正方形（包括正方形的内部和边）有公共点，求的取值范围． 4．（2021·江苏溧阳·中考一模）如图所示，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）当时 ， ①求点A、B、C的坐标； ②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标； （2）点D是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求a的值． 5．（2021·江西·新余市中考模拟预测）如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由． 6．（2021·重庆市育才中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A点的坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过A作，交抛物线于点D，点P为直线下方抛物线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值： （3）将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为E，连接，将线段沿y轴平移得到线段（为B的对应点，为E的对应点），直线与x轴交于点F，点Q为原抛物线对称轴上一点，连接，能否成为以为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由． 7．（2021·广东普宁·中考一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线与抛物线交于，两点，与直线交于点．若是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，是否存在一个值，使得，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由； ②当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求出点的坐标． 8．（2021·黑龙江·哈尔滨市九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与轴交于两点，，直线与抛物线的另一个交点的纵坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点为线段上一点，点是延长线上一点，，点是第一象限内一点，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，设的面积为，，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，点为直线上方抛物线上一点，直线交直线于点，当时，求点的坐标． 9．（2021·浙江湖州·中考模拟预测）二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，直线与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式： （2）在直线l上找点P（点P在第一象限），使得以点P，D，B为顶点的三角形与以点A，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）： （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在第