小升初奥数专题讲义-第17讲 极值问题（学习目标+温故知新+巩固练习）

第17讲 极值问题 【学习目标】 1、掌握极值问题常用的结论。 2、把复杂问题转化成极值问题解决。 人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、等问题。这类求最大值、最小值的问题，亦称极值问题，是一类重要的典型问题。 一、和（积）一定 1、两个数的和一定，那么当这两个数的差愈小时，它们的积就愈大。 2、三个数a、b、c，如果a+b+c是定值时，只有当a=b=c时，a b c的积才能最大，三个数越接近，积越大。  3、两个数的积是定值时，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。 在周长相等的封闭平而图形中，圆的面积最大。 反之在面积相等的封闭图形中，圆的周长最小。 在棱长和一定的长方体中，长、宽、高都相等的长方体（即正方体）的体积最大。    在所有表面积是定值的几何体中，球体的体积最大。 ※在中学阶段我们又称为均值定理。 二、特定排名的极值问题 该类问题一般表述为：若干个整数量的总和为定值，且各不相同（有时还会强调：各不为0或最大不能超过多少），求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小值。 三、保证（抽屉原理） 题目中会有“保证”这样的字眼，解此类问题利用“最不利原则（最不凑巧原则）”，假设问题的解决过程是最不希望看到的，在这种情况下求解。 四、多集合的极值问题 该类问题一般表述为：在一个量的总和（即全集）里，包含有多种情况（即多个子集），求这多种情况同时发生的量至少为多少。 【温故知新】 例题1：把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【答案】3×3×3×3×2 举一反三1： 1、把16拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 2、把50拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 【答案】1、3×3×3×3×4 例题2 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 【答案】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。 举一反三2： 1、一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最