9.2球的问题 -2022届高考数学一轮复习讲义

9.2 球的问题 【学习目标】 1.理解球的相关概念； 2.理解球面上两点间的球面距离的概念； 3.了解球的体积与表面积公式； 4.会处理内切球与外接球问题 【知识回顾】 1.球的理解： （1）空间中，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做球； （2）将一个半圆绕着直径旋转一周形成的几何体叫做球. 2.球的表面积与体积公式：（1） ；（2） ； 3.外接球问题的常见处理对策： （1）补形：针对堑堵、阳马、鳖臑、正四面体、对棱长相等的四面体等几何体； （2）分析几何体结构，确定球心位置，即找到空间中到几何体各顶点距离相等的点． 【典例分析】 例1.（1）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上， 是边长为1的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． （2）正四面体 的各棱长均为1， 分别为棱 的中点，则该正四面体的外接球被平面 所截的截面面积为_________． 答案：（1）C （2） 例2.（1）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. （2）如图，已知球 的面上四点 、 、 、 ， 平面 ， ， ，则球 的体积等于________． （3）已知正三棱锥 内接于球 ，且底面边长为 ，侧棱长为2，则球 的表面积为_______． 答案：（1）C （2） （3） 例3.（1）如图，在圆柱 内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 的体积为 ，球 的体积为 ，则 的值是_______． （2）在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ， ， ， ，则 的最大值是__________． 答案：（1） （2） 【课外作业】 1．若底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．已知 ， ， 是半径为1的球 的球面上的三个点，且 ， ， 则三棱锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 3．已