专题04 导数中的参数范围问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题04 导数中的参数范围问题 解决参数范围问题的常见方法 1、参变分离法：参变分离法是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边，从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离。 2、含参讨论法：含参讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用。 3、利用参数的几何意义：例如：设，若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围是可以转化为与直线的交点，再利用数学结合和切线的性质求解即可，此方法局限性比较大，而且仅适用于选择、填空。 典例1.（2021秋•裕安区校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）在（0，+∞）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞） 【分析】把问题转化为a有两个不同根，令g（x），利用导数求其最小值，则答案可求． 【解答】解：函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）有两个不同的零点，即方程ex﹣ax2＝0有两个不同根， 即ex＝ax2，也就是a有两个不同根， 令g（x），则g′（x）， 当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0， ∴当x＝2时，g（x）min＝g（2）． ∴满足题意的实数a的取值范围是（，+∞）． 故选：D． 典例2.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_____ 【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx 令f′(x)=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1， 函数有两个极值点,等价于f′(x)=lnx−2mx+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点， ， 当m=时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切， 由图可知,当0<m<时，y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点， 则实数m的取值范围是(0, )， 故答案为：(0, ). 典例3.设函数（为常数，是自然对数的底数）. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围. 【分析】（I）函数的定义域为， 由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间为. （II）分，，，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少. 【解答】（I）函数的定义域为， 由可得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （II）由（I）知，时，函数在内单调递减， 故在内不存在极值点； 当时，设函数， 因为， 当时， 当时，，单调递增， 故在内不存在两个极值点； 当时， 得时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以函数的最小值为， 函数在内存在两个极值点； 当且仅当， 解得， 综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为. 牛刀小试 一．选择题（共8小题） 1．（2021秋•10月份月考）设a∈R，若不等式ax＞lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B． C．（1，+∞） D．（e，+∞） 【分析】根据题意，分离参数，可得对x∈（1，+∞）上恒成立，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得a的取值范围． 【解答】解：由题意可知，不等式ax＞lnx在x∈（1，+∞）上恒成立， 则对x∈（1，+∞）上恒成立， 设，x∈（1，+∞），，令f′（x）＝0，解得x＝e， 所以当1＜x＜e，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＝e时，f（x）取极大值，即为最大值，最大值为， 所以，， 所以a的取值范围为， 故选：B． 2．（2021秋•江西月考）对任意x∈（，+∞），不等式lnx恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，ln2） B．（﹣∞，ln2] C．（﹣∞，ln3] D．（﹣∞，2] 【分析】根据题意可得对任意x∈（，+∞），不等式m＜ex﹣xlnx恒成立，只需m＜（ex﹣xlnx）min，即可得出答案． 【解答】解：因为对任意x∈（，+∞），不等式lnx恒成立， 所以对任意x∈（，+∞），不等式m＜ex﹣xlnx恒成立， 令f（x）＝ex﹣xlnx，x∈（，+∞）， f′（x）＝ex﹣lnx﹣1，x∈（，+∞）， 令g（x）＝ex﹣lnx﹣1，x∈（，+∞）， g′（x）＝ex，在x∈（，+∞）上单调递增， 所以g′（x）＞g′（）且g（）＝e3＜0， 当x→+∞时，f（x）→+∞， 所以存在x0∈（，+∞），g′（x0）＝0，即e0， 所以x0， 所以在（，x0）上，g′（x）＜