专题20 二次函数与直角三角形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题20二次函数与直角三角形存在问题 1．（2021·四川巴中·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）或或或 【分析】 （1）将、、代入即可求解析式； （2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可； （3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或． 【详解】 解：（1）将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3），点在上， 如图2，当时， 过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图3，当时， 过点作轴交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图4，当时， 线段的中点，， 设， ， ， 或， 或； 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】 本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 2．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为． （1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________； （2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值； （3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2） 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标； （2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可； （3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧， ∴A（1，0） 又x= ∴ 把A（1，0）代入得， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点D坐标为（2，-1） 故答案为：（1，0），（2，-1），； （2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ①当，即时， 解得，（舍去）或 ②当时， 解得，或（舍去） 所以，m的值为或 （3）假设存在，设P（2，t） 当时，如图， 过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t ， ∴ ，即 整理得， 解得，， 经检验：，是原方程的根且符合题意， ∴点P的坐标为（2，1），（2，2） 综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2） 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键． 3．（2021—2022广东惠阳九年级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点(2，﹣3)和(1，﹣)，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值． （4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）；；（4）， 【分析】 （1）用待定系数法，将代入中，解方程组即可； （2）过点C作关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点P，此时的周长最小，求出直线的解析式，因为点P在对称轴上，可以知道点P横坐标，代入直线的解析式中即可求得纵坐标； （3）用t表示出线段QN、OQ的长度，由面积公式代入计算即可知道S和t的函数