专题08 与过定点的直线相关的最值-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题08 与过定点的直线相关的最值 【方法点拨】 1. 选择直线方程的适当形式，若设为截距式，实质是引入了双元；若设为斜截式，则是引入了单元.无论那种形式，都有注意参数的范围. 2. 当求线段被定点分成两条线段之积的最值时，转化为向量的数量积的坐标形式求解较简单，也可引入角为变量，建立关于角的目标函数，利用三角函数的有界性求解. 【典型题示例】 例1 已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点，点为坐标原点，则取得最小值时直线的方程为 . 【答案】 【解析一】设直线的方程为（其中） ∵直线过点，∴ ∵， ∴， 当且仅当，时取等号，所以直线的方程为. 【解析二】设直线的方程为（其中） 令，；令， ∵， ∴当且仅当，即时取等号，所以直线的方程为. 例2 已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点，则取得最小值时直线的方程为 . 【答案】 【解析一】（截距式+向量+基本不等式中的“1”的代换） 设直线的方程为（其中） ∵直线过点，∴， ∵，，三点共线， ∴， 当且仅当，时取等号，所以直线的方程为． 【解析二】（斜截式+向量+基本不等式） 设直线的方程为（其中） 令，；令， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 当且仅当，即时取等号，所以直线的方程为． 【解析三】（作垂线，利用直角三角形边角关系，三角函数有界性） 过点分别向轴、轴作垂线，设（其中） 则， ∴ 当且仅当，即时取等号，此时直线的斜率为1 ∴直线的方程为． 例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，则直线l的方程是 ． 【答案】x＋2y－4＝0 【解析一】设直线l的方程为y－1＝k(x－2) （其中k＜0） 则可得A，B(0,1－2k)． ∵S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝≥＝4 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4， 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 【解析二】设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1. 又∵＋≥2⇒ab≥4， 当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. 【解析三】过点分