专题07 圆幂定理在解题中的应用-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 圆幂定理在解题中的应用 【方法点拨】 1.相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则. 2. 切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则（）; 3.割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则. 说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理. 【典型题示例】 例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________． 【答案】 【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则 ，则 在中，，即 所以（当且仅当时取等） 【解法二】∵BT⊥ AP，∴点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1， 过点P作该圆的切线PC，C为切点，则PC=，由切割线定理得： 所以（当且仅当时取等）. 点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向. 例2 在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，A为⊙C与x负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M. 若OA＝OM，则直线AB的斜率为________． 【答案】2 【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CM⊥AB，故∠CMA+∠AOC=180o，所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可. 【解析】连结C、M，则CM⊥AB， 在四边形AOCM中，∠CMA+∠AOC=180o，故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径. x2＋(y－1)2＝5中，令y=0，得x＝±2，A（－2，0），AC=即为△AOM外接圆的直径， 在△AOM中，由正弦定理得：，而OA＝OM=2， 所以，所以tanA=2. 故直线AB的斜率为2． 例3 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ． 【答案】y＝x－1 【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，