专题06 圆的弦被内(外)分成定比问题-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 圆的弦被内(外)分成定比问题 【方法点拨】 1.利用垂径定理通过二次解直角三角形求出弦长，进而求出“弦心距”，最后利用“点线距”列方程； 2.利用圆幂定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理)求出弦长，然后同上. 3. （1）相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则 （2）如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则：(1)（切割线定理）; (2) （割线定理). 说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理. 【典型题示例】 例1 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ． 【答案】y＝x－1 【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值. 【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)． 由＝2，设BM＝2t，MA＝t. 如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝. 设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5. 在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝， 则d2＝＝，解得k＝1或k＝－1. 因为点A在第一象限， ＝2，由图知k＝1， 所以所求的直线l的方程为y＝x－1. 【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t 又过点M的直径被M分成两段长为、 由相交弦定理得，解之得 过原点O作OH⊥l于点H， 在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，解得d2＝，（下同解法一，略）. 【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)． 因为＝2，所以 当直线AB的斜率不存在时，＝，不符合题意． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)， 联立得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则 解得所以y1·y2＝＝，即k2＝1.又点A在第一象限， 所以k＝1，即直线AB的方程为y＝x－1. 【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)． 因为＝2，所以即 又代入可得解得x1＝2，代入可得y1＝±1.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点