专题04 相关点法确定圆的轨迹-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 相关点法确定圆的轨迹 【方法点拨】 1.双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. 2.建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. 3.消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 【典型题示例】 例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B，C是圆O：x2+y2=4上的两动点，且，若圆O上存在一点P使得（），则正数的取值范围是 ． 【答案】[4，6] 【分析】BC是定长弦，动中取静，直接取BC的中点为D，易求出点D的轨迹方程是x2+y2=1，再求另一动点P的轨迹方程，利用m的几何意义求出其取值范围. 【解析】设BC的中点为D，则，故点D的轨迹方程是x2+y2=1 ∵D为BC的中点 ∴ ∴ 设， ∴，故有 又∵在圆O上 ∴，故有 这里的几何意义是点到点 A（3,4）的距离 又∵点D的轨迹方程是x2+y2=1 ∴点到点 A（3,4）距离的最大值是6，最小值是4 ∴的取值范围是[4，6]. 例2 已知AB是圆O：x2+y2=2的一条弦，且，M是AB的中点，若动点P(t，t＋2)，Q(m，－2)，使得四边形PMOQ为平行四边形，则实数m的最大值是 ． 【答案】－3 【解析】易得点M的轨迹方程是 ∵四边形PMOQ为平行四边形 ∴ 设 ∴， 又∵在圆上 ∴，可看作动点与动点距离的平方是 ∴实数m的最大值是－3． 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y－1)2=1及点，设点P圆C上的一动点，在△ACP中，若∠ACP的平分线与AP相交于Q(m，n)，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由角平分线性质定理得 ∴ 设 ∴，故有 又∵在圆C上 ∴，即 故点Q的轨迹是以为圆心为半径的圆 ∵的几何意义是点Q到坐标原点的距离 ∴的最大值、最小值分别是、 故的取值范围是． 【巩固训练】 1.若点在圆上运动，点在轴上运动，定点，则的最小值为 . 2.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为 ． 3