专题03 利用方程同解求圆的方程-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 利用方程同解求圆的方程 【方法点拨】 当圆与另一曲线（如抛物线）有两个公共点求圆的方程时，可考虑将曲线方程分别与直线方程联立消元，根据函数与方程的关系，则两方程同解，故可利用系数成比例求解圆的方程. 【典型题示例】 例1 （多选题）已知二次函数交轴于，两点（，不重合），交轴于点.圆过，，三点.下列说法正确的是（ ） ①圆心在直线上； ②的取值范围是； ③圆半径的最小值为1； ④存在定点，使得圆恒过点. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【解析】①因为二次函数的对称轴是，且，两点关于对称，所以圆心在直线上，故正确； ②因为二次函数交轴于，两点，所以 解得且，故错误； ③设圆的方程为，（#） 令，则 则为方程的两个根 ∵与轴交于，两点 ∴为方程的两个根 故方程与方程的根相同 ∴，，代入（#） 又∵在圆上 ∴，解得 所以所求圆的方程为. 即 故，因为且，所以，故错误； ④圆M的方程为，即，则圆恒过定点，故正确；故选：AD. 例2 （多选题）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（ ） A．且 B．当时，为钝角 C．圆：（且） D．圆过定点 【解析】对于A，联立，消可得， 二次函数与直线有两个交点，则， 解得，又，故A正确； 对于B，联立消可得， 设，，则，， 则 当时，， 所以为锐角，故B错误； 对于C，设圆的方程为（因为圆过，故）， 由，消可得，故为方程的两个根 由，消可得 即 故为方程的两个根 所以与为同一方程 故有，解得 所以圆的方程为（且，故C正确； 对于D，由C：（且）， 整理可得，方程过定点 则 ，解得 ，所以圆过定点，故D正确； 故选：ACD. 【巩固训练】 1.已知圆C过点，，它与x轴的交点为，，与y轴的交点为，，且，则圆C的标准方程为___________. 2. 已知曲线与轴交于，两点，与轴交于点，则外接圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有 三个交点．经过三个交点的圆记为，则圆经过定点 （其坐标与的无关）． 【答案或提示】 1.【答案】 【解析】设圆C的一般式方程为， 令，得，所以， 令，