专题02 圆的切线系、圆系的综合应用-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 圆的切线系、圆系的综合应用 【方法点拨】 1.直线方程(其中均为实常数，且，)的几何意义是，以为圆心为半径圆的切线系. 事实上，为“动中寻静”使所求值与无关，只需求点到直线的距离，有，即直线是圆全体切线组成的集合，它可以看作过圆上任意一点的切线. 2.当圆心坐标含参时，应考虑消参，探求圆心的轨迹. 【典型题示例】 例1 已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是　　 A．对任意实数与，直线和圆有公共点 ； B．对任意实数与，直线与圆都相离； C．存在实数与，直线和圆相离； D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切； E．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切. 【答案】AD 【分析】对于圆动圆心，定半径，圆心为，故其轨迹是以（1,2）为圆心，半径的圆. 直线过定点（1,2）. 【解析】选项，由题意知圆的圆心为，半径为，直线的方程可以写作，过定点，因为点在圆上，所以直线与圆相切或相交，任意实数与，直线和圆有公共点，正确，错误； 选项，由以上分析知不存在实数与，直线和圆相离，错误； 选项，当直线与圆相切时，点恰好为直线与圆的切点，故直线与直线垂直，①当时，直线与轴垂直，则，即，解得，存在，使得直线与圆相切； ②当时，若直线与直线垂直，则， 直线的斜率为， 所以，即， 此时对任意的，均存在实数，使得，则直线与直线垂直， 综上所述，对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，正确． 选项，点到直线的距离为， 令，当时，； 当时，，即此时恒成立， 直线与圆必相交，故此时不存在实数，使得直线与圆相切，错误． 故选AD． 例2 设直线系．下列四个命题中正确的是（ ） A．存在一个圆与所有直线相交； B．存在一个圆与所有直线不相交； C．存在一个圆与所有直线相切； D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 【答案】ABC 【解析】因为 所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在， 半径大于1的圆与中所有直线相交, A正确 也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确 也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确 故正确 因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 与 均为等边三角形而面积不等, 故错误，答案选ABC. 例3 （多选题）设有一组圆：．下命