专题01 圆的切点弦的应用-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 圆的切点弦的应用 【方法点拨】 1.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； 2.过圆x2＋y2＝r2外一点P (x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 【典型题示例】 例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点圆P向圆C：引两条切线PC、PD，切点分别是C、D，设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为 ． 【答案】 【解析】设点的坐标为 则CD的方程为， 分参得 所以，解之得，直线CD恒过点N（－1,1） 又因为OM⊥CD， 所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是 所以. 例2 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x 2)2 (y 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、 B（点 A在点 B的左侧），圆C 的弦 MN 过点T(3，4)，分别过 M、N 作圆C 的切线，交点为 P，则线段 AP 的最小值为 　　 ． 【答案】 【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解. 【解析】设点P坐标为(a，b ) 则切点弦MN的方程为：(a 2) (x 2) (b 2) (y 2)＝ 20 又因为弦 MN 过点T(3，4)， 故(a 2) (3 2) (b 2) (4 2)＝ 20，即a 2b 26＝0 即点P的轨迹方程是x 2y 26＝0 点A（－2,0）到该直线的距离为， 因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小 所以点A（－2,0）到该直线的距离即为AP 的最小值. 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是直线的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设点的坐标为 则PQ的方程为， 分参得 所以，解之得，直线PQ恒过点（1,1） 易求得过点（1,1）最短的弦长为、最长的弦长为（取不得） 故线段PQ长的取值范围为. 【巩固训练】 1.已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点 . 2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴