4.3.1 第1课时 等比数列的概念及简单表示(Word教参)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及简单表示 [学习目标] 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义(重点).2.体会等比数列与指数函数的关系． (见学生用书P15) 要点一　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 要点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，此时三个数满足关系式 G2＝ab. 思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 提示 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列，所以0不是等比中项． 要点三　等比数列的通项公式 1．通项公式 一般地，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1. 2．通项公式的推广 公比为q的等比数列{an}中任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示，即an＝amqn－m(m，n∈N*)． 3．递推公式 ＝q(n∈N*且n>1)或＝q(n∈N*). 要点四　等比数列与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)还可以改写成an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．因此等比数列{an}对应的点列(n，an)分布在指数型函数f(x)＝·qx的图象上，即等比数列{an}的图象是函数f(x)＝·qx的图象上的一群孤立的点. 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的项不能为0，但公比可为0.(　　) (3)常数列既是等差数列，又是等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 解析 (1)错误．根据等比数列的定义知，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列． (2)错误．当公比为零时，根据等比数列的定义知，数列中的项也为零． (3)错误．当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列． (4)错误．当两数同号且不为零时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)× (见学生用书P15) 考点一　等比数列通项公式的基本运算 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 等比数列通项公式的应用 (1)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． (2)求a1和q的两种常用方法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法； ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 【例题1】 (1)已知等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，求an. (2)已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解析 (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 方法一　 因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 方法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，即q＝.所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2. (2)方法一　由题意可得 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，所以32×n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.又a1q＋a1q4＝18，所以a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 【变式1】 (1)在等比数列{an}中，已知a1＝3，q＝－2，求a6. (2)在等比数列{an}中，已知a3＝20，a6＝160，求an. 解析 (1)由题意和等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，则解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*. 考点二　等比中项及其应用 误区防错　　 　　　　　　　　　　　　　　 等比中项应用的三点注意 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab即可，注意a，b，G均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程． (3)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【例题2】 已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解析