4.1 第1课时 数列的概念及简单表示(Word教参)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第四章　数　列 4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念及简单表示 [学习目标] 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点).4.掌握数列的通项公式及应用(难点)． (见学生用书P1) 要点一　数列及其有关概念 1．定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(也叫做首项)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示． 2．表示 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，这里n是项数． 要点二　数列的分类 分类标准 名称 定义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 要点三　通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 思考：是否所有的数列都有通项公式？数列的通项公式唯一吗？ 提示 不是．数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．数列的通项公式不唯一． 要点四　数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表所示. 定义域 正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n} 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 通项公式法(解析法)，列表法，图象法 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列2,4,6,8，…，2n是无穷数列．(　　) (2)通项公式为an＝n＋1的数列是递增数列．(　　) (3)数列4,0，－2，－4，－6的首项是4.(　　) (4)30是数列an＝2n－1中的某一项．(　　) 解析 (1)错误．无穷数列的末尾带有…. (2)正确．an＝n＋1对应的函数y＝x＋1是增函数，所以an＝n＋1是递增数列． (3)正确．第一个位置上的数是首项． (4)错误．当2n－1＝30时，n的值不是正整数． 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)× (见学生用书P1) 考点一　数列的概念和分类 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． (2)数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列． 【例题1】 已知下列数列： ①2 013,2 014,2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是______，无穷数列是______，递增数列是______，递减数列是______，常数列是______(填序号)． 解析 ①是有穷数列且是递增数列；②是无穷数列且是递减数列；③④是无穷数列；⑤是无穷数列，也是递增数列；⑥是有穷数列，也是常数列． 答案 ①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥ 【变式1】 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2 014,2 016,2 018,2 020,2 022； ②1,3,32，…，363； ③1，，，…，，…； ④－，，－，，…； ⑤0,10,20，…，1 000； ⑥9,9,9,9,9,9，…. 解析 ①②⑤是有穷数列；③④⑥是无穷数列；①②⑤是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列． 考点二　由数列的前几项求通项公式 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 根据数列的前几项求其通项公式时，需抓住几个方面的特征： (1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项； (2)考虑分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系； (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征； (4)拆项、添项后的特征； (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【例题2】 根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－，，－，…；