4.1 第2课时 数列的递推公式与an和Sn的关系（Word教用版）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　) A. B． C. D．6 答案　B 解析　由an＋1＝.故选B项．＋1＝，a4＝＋1＝＋1＝3，a3＝＋1，a1＝1得，a2＝ 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 答案　D 解析　由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证知D项正确．故选D项． 3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 020＝(　　) A．－3 B．0 C. D．3 答案　B 解析　由题意知a1＝0，a2＝，…，由此可知an＋3＝an，所以数列{an}的周期为3，又2 020＝3×673＋1，所以a2 020＝a1＝0.故选B项．＝－＝0，a5＝，a4＝＝，a3＝＝－ 4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) 答案　C 解析　因为an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，所以an－an－1＝3，所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，又a1＝1，所以an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，a1＝1也符合上式．所以数列的通项公式为an＝3n－2.故选C项． 5．如图，由火柴棒拼成的图形中，第n个图形由n个正方形组成． 通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为(　　) A．3n－1 B．3n C．3n＋1 D．3(n＋1) 答案　C 解析　设第n个图形中有an根火柴棒，通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根，……，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(a1＝4也符合此式)．故选C项． 二、填空题 6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为______. 解析 因为a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项之和为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝33. 答案 33 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______. 解析 因为Sn＝3＋2n，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式，所以an＝ 答案 an＝ 8．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝____. 解析 由(n－1)an＝(n＋1)an－1，得＝5 050.＝×…××＝1×·…··(n≥2，n∈N*)，则a100＝a1·＝ 答案 5 050 三、解答题 9．已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，且a1＝1. (1)求a2，a3，a4的值； (2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项． 解析 (1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，所以a2＝4，a3＝8，a4＝13. (2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220. 10．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解析 因为anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，所以(n∈N*)．也符合上式，所以an＝.因为a1＝＝2＋1×(n－1)＝n＋1.所以当n≥2时，an＝＋…＋＋＋＝＝1.所以当n≥2时，－ 11．(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．Tn无最大值 B．an有最大值 C．T2 020＝9 D．a2 020＝1 答案　BCD 解析　因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，所以a3＝3，a4＝1，a5＝，a7＝1，a8＝3，…，因此数列{an}为周期数列，an＋6＝a