专题08 二次函数与矩形正方形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题8二次函数与矩形正方形存在性问题 【例1】（2021•齐齐哈尔）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　2　； （3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值； （4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度； （3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【解析】（1）∵OA＝1， ∴A（﹣1，0）， 又∵对称轴为x＝2， ∴B（5，0）， 将A，B代入解析式得： ， 解得， ∴，自变量x为全体实数； （2）由（1）得：C（0，），D（2，）， ∴CD＝， 故答案为2； （3）∵B（5，0），C（0，）， ∴直线BC的解析式为：， 设E（x，），且0＜x＜5， 作EF∥y轴交BC于点F， 则F（x，）， ∴EF＝﹣（）＝， ∴， 当x＝时，S△BCE有最大值为； （4）设P（2，y），Q（m，n）， 由（1）知B（5，0），C（0，）， 若BC为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， 又∵∠BPC＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 即：， 解得y＝4或y＝﹣， ∴n＝或n＝4， ∴Q（3，）或Q（3，4）， 若BP为矩形得对角线， 由中点坐标公式得， 解得， 又∵∠BCP＝90°， BC2+CP2＝BP2， 即：， 解得y＝， ∴Q（7，4）， 若BQ为矩形的对角线， 由中点坐标公式得， 解得：， 又∵∠BCQ＝90°， ∴BC2+CQ2＝BQ2， 即：， 解得n＝， ∴Q（﹣3，﹣）， 综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）． 【例2】（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，即可求解； （3）过点D作DK⊥QM于点K，则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，同理可得，QK＝1，则tan∠DQM＝，在△BOC中，tan∠CBO＝＝，即可求解． 【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a， 即﹣4a＝2，解得a＝﹣， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2； （2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：0＝﹣k+3，解得k＝3， 故直线l的表达式为y＝3x+3， 设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3）， 由题意得，点Q、M关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝， 故点M的横坐标为3﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣2x， 设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8， ∵1＞0，故C有最小值， 当x＝时，矩形周长最小值为； （3）当x＝时，y＝﹣x2+x+2＝，即点Q的坐标为（，）， 由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，）， 过点D作DK⊥QM于点K， 则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝， 同理可得，QK＝1， 则tan∠DQM＝， ∵∠CBF＝∠DQM， 故tan∠CBF＝tan∠DQM＝， 在△BOC中，tan∠CBO＝＝， 故BF和BO重合， 故点F和点A重合， 即点F的坐标为（﹣1，0）， 当点F在直线BC的上方时，∵AC＝，BC＝2，AB＝5， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°， 则点A关于BC的对称点A′（1，4）， ∴直线BF的解析式为