第16讲 线段的垂直平分线（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第16讲 线段的垂直平分线 知识梳理 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：∵ CD是线段AB的垂直平分线 ∴CA=CB 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：∵ CA=CB ∴ 点C在线段AB的垂直平分线 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. 题型探究 题型一、根据垂直平分线的性质求边长、角度 【例1-1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ） A．50° B．70° C．75° D．80° 【答案】B 【详解】 分析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可． 详解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°， 故选B． 点睛：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【例1-2】如图，△ABC中，DE是AC的中垂线，且AE=3cm，△ABD周长为13cm，那么△ABC的周长是___cm. 【答案】19. 【分析】 由题意AB+BD+AD=13cm，因为DA=DC，所以推出AB+BD+DC=AB+BC=13，再根据AC=2AE=6cm．即可求出△ABC的周长． 【详解】 ∵△ABC中，DE是AC的中垂线， ∴AD=CD,AE=CE=12AC=3cm， ∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ① 则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ② 把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm 故答案为19. 【点睛】 此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于掌握其性质. 【例1-3】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】B 【分析】 根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】 ∵AB的垂直平分线交AB于点D， ∴AE＝BE， ∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19， ∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6， 故选：B． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【例1-4】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若与的周长分别是，，则______． 【答案】 【分析】 根据周长的定义和垂直平分线的性质计算． 【详解】 解：∵AB＝AC，△ABC周长是26cm ∴2AC＋BC＝26 ∵E在AB的垂直平分线上 ∴AE＝BE ∵△BCE的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝18 ∴AC＝26−18＝8cm． 故答案为8 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等是解题的关键． 举一反三 1．平面内到不在同一条直线上的三个点、、的距离相等的点有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】 平面内不在同一条直线的三个点组成一个三角形．到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，而三角形三边的垂直平分线交于一点． 【详解】 解：到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上， 到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上， 到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上， 而三角形三边的垂直平分线交于一点． 故选B． 2．点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有( ) A．PA=PB B．PA=PC C．PB=PC D．点P到∠ACB的两边的距离相等 【答案】A 【分析