第15讲 证明举例（讲+练）-添加辅助线-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第15讲 证明举例—添加辅助线 第一类辅助线、常见的辅助线 (1)联结两个点得到线段； (2)过某一点做平行线或者垂线； (3)延长某一条线段，构造特殊的三角形． （4）已知两角间的倍半关系，通常平分角或构造等腰三角形. 【例1-1】如图，已知AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD．下列添加辅助线不正确的是A B C D （ ）． A．延长BA、CD交于点E； B．过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F； C．联结AC、BD； D．过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F． 【答案】C 【解析】A、B、D都能够通过全等三角形得到结论． 【例1-2】已知：如图，．求证：．A C E D B F 【答案】略 【解析】证明：连结， ，即 【点睛】考查全等三角形的判定条件，在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四边形知识证明． 【例1-3】已知：如图所示，．求证：．A C E D B F 【答案】详见解析 【解析】证明：连结， A C E D B F ，即 即 【点睛】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分． 【例1-4】如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，A B C D E 求证：∠BCD=∠EDC． 【答案】见解析． 【解析】联结AC、ADA B C D E ∵AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴∠BCD=∠EDC． 【例1-5】如图，在中，，，是上的一点，且的延长线交于，又平分，求证：． 【答案】详见解析 【分析】 延长，交于点，根据在Rt△BEF中，∠EBF+∠F=90°，在Rt△ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC，进而可证≌，可得，易证≌，可得，即，所以. 【详解】 解：延长，交于点， ∵，，， ∴． ∵在和中，， ∴≌（ASA）．∴． ∵在和中，， ∴≌（ASA）．∴，即． ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等. 【例1-6】如图，已知：是的中点，于，交于． 求证：． 【答案】略 【解析】证明：过点作交延长线于， 【点睛】考虑相关条件的应用，构造全等三角形把所证角转移到一对全等三角形中． 【例1-7】如图所示，已知为等边三角形，延长到，延长到，并且使，连结． 求证：．C A B D E 【答案】略 【解析】证明：延长到，使得，连结， 是等边三角形， 即 是等边三角形 【点睛】考虑等边三角形的特殊性质，利用不在一个图形中的线段的相等关系进行相应的构造和转化构造全等三角形即可证明解题． 第二类辅助线、倍长中线法 倍长中线法： 如何延长三角形的中线 1.延长1倍的中线： 如图，线段是的中线，延长线段至，使（即延长1倍的中线），再连接。 ①总的来说，就可以得到一个平行四边形和两对（中心选转型）全等三角形、，且每对全等三角形都关于点中心对称； ②详细地说，就是可以转移角：，，，，，；可以移边：，；可以构造平行线：∥，∥；可以构造边长与、、有关的三角形：、。 （1） 延长倍的中线：（且） 如左（右）下图，点为中线（延长线）上的点，延长至，使，连接、、、.在平行四边形中就可以得到类似（1）中的结论。 注意：通常在已知条件或结论中测及到与、有关的边与角时，会用这种辅助线. 整体做题思路： 【例2-1】已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_______．A B C D 【答案】． 【解析】延长AD至点E，使得，联结BE ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】考察倍长中线辅助线的添加方法以及三角形三边关系的判定． 【例2-2】已知：如图，AD是△ABC的BC边上的中线，且BE=AC，延长BE交AC于点F．A B C D E F G 求证：AF=EF． 【答案】见解析． 【解析】延长ED至点G，使得DG = DE，联结CG ∵，，DG=DE， ∴ ∴， ∵BE=AC，∴，∴ ∵，∴ ∵，∴， ∴AF=EF． 【例2-3】已知：四边形中，，是线段的中点，是的平分线． 求证：是的平分线． 【答案】略 【解析】证明：延长与的延长线交于点， 是的角平分线， 是的角平分线． 【点睛】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论． 第三类辅助线、截长补短法 几种截长补短解题法类型 1.我们大致可把截长补短分为下面几种类型： 类型① 类型② 对于类型①，可采取直接截长或补