第14讲 证明举例（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第14讲 证明举例 知识梳理：证明举例的相关概念 1.符号 在证明的表述中，符号“∵”、“∴”分别读作“因为”、“所以”，并与其同义。 2.证明分析方法 （1）由因导果，即从“已知”看“可知”推向“未知”； （2）执果索因，即从“未知”看“需知”靠拢“已知”； （3）“两头凑”，即既从“未知”看“需知”，又从“已知”看“可知”，使“需知”与“已知相 衔接”。 题型探究 题型一、证明两条直线平行的方法 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。（平行的传递性） 垂直于同一条直线的两条直线平行。 【例1-1】如图，已知∠1和∠2互为补角，∠A=∠D．求证：AB∥CD． 证明：∵∠1与∠CGD是对顶角， ∴∠1=∠CGD（______）. 又∠1和∠2互为补角（已知）， ∴∠CGD和∠2互为补角， ∴AE∥FD（_________）， ∴∠A=∠BFD（_______）. ∵∠A=∠D(已知）， ∴∠BFD=∠D（_______）， AB∥CD（______）. 【答案】对顶角相等； 同旁内角互补，两直线平行； 两直线平行，同位角相等； 等量代换； 内错角相等，两直线平行. 【详解】 ∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1=∠CGD（对顶角相等）． 又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD和∠2互为补角，∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）． ∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【例1-2】如图，四边形中，平分，交于点， ，平行交延长线于点．A C E D B G P 求证：． 【答案】详见解析 【解析】证明：平分， ， 【点睛】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和结合起来． 题型二、证明两条线段相等、三角形全等的方法 1、证线段相等的思路 ①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等； ②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中） ③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论； ④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论。 2、证三角形全等的思路 首先熟知判定定理，然后从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找和推导. 【例2-1】（线段相等）如图，在等边三角形中，点、分别是、延长线上的点，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】 根据等边三角形的性质可推出一组对应角相等和一组边相等，又因为DB＝EC，即可证明△DBC≌△ECA，故即可证明． 【详解】 ∵是等边三角形，∴，． ∴． 在与中，， ∴≌．∴ 【例2-2】（线段相等）如图，点是上的一点，在的同旁做等边和等边与交于点与相交于点．A B C D N E M 求证：． 【答案】详见解析 【解析】证明：和是等边三角形， 结合， 【例2-3】（线段相等）已知：如图，在中，，于点，点在上，，过点作的垂线，交的延长线于点．A C E B F D 求证：． 【答案】略 【解析】证明： 【点睛】垂直较多的图形中，根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角，进而可证全等． 【例2-4】（线段相等）如图，已知中，于为的角平分线，交于，过作的平行线，交于点．C A B F D E 求证：． 【答案】详见解析 【解析】证明：， ， 是的角平分线， 【点睛】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可． 题型三、证明两角相等的方法 证角相等的思路 ①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等； ②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中） ③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论； ④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理(下一节学习)来得出结论。 【例3-1】（角相等）如图，于点，于点，．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】 求证AD平分∠BAC，即证∠1=∠2．根据题意易证AD∥EG，由平行线的性质结合∠E=∠3可得结论． 【详解】 ∵，， ∴． ∴． ∴，． 又， ∴． ∴平分． 【点睛】 此题考查角平分线的定义，平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 【例3-2】（角相等）如图，已知中，是边的中点，分别在边上，且，．求证：．A C D B F E 【答案】详见解析 【解析】证明：， 【点睛】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系． 题型四、证明线段垂直的方法 证