第13讲 命题和证明、逆命题和逆定理（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第13讲 命题和证明、逆命题和逆定理 知识一、演绎证明 1.证明 演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程，在我们沪教版教材中，演绎证明又简称为“证明（proof）”. 2.证明的基本要求 演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把每一步的依据写在其得到的结论后面的括号内；整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。一连串连贯、有序的因果关系组成了完整的证明。 3.推理依据 在证明中，推理的依据可以是公理、定理、概念、定义；也可以是“已知条件”、“已证事项”（即已知、已证）。 4.辅助线 由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线（通常画虚线）. 题型探究 题型一、写推理依据 【例1】已知：如图，在中，FG∥EB，，那么等于多少度？为什么？ 解：=_______________． 因为∥（______________________）， 所以（_________________________________）． 因为（已知）， 所以（_____________________）． 所以DE∥BC（_____________________）． 所以=_________（____________________）． 【答案】详见解析. 【分析】 根据平行线性质推出∠1=∠2，推出∠1=∠3，得出DE∥BC，根据平行线的性质推出即可． 【详解】 ∠EDB＋∠DBC= 180º ． 因为FG∥EB（已知）， 所以∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）． 因为∠2=∠3（已知）， 所以∠1=∠3（等量代换）． 所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 所以∠EDB＋∠DBC=180º（两直线平行，同旁内角互补）． 【点睛】 本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 题型二、简单证明题 【例2】如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F的理由. 【答案】∠E与∠F相等，理由见解析. 【分析】 根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠PAE=∠APF，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立． 【详解】 ∠E与∠F相等.理由如下: 因为∠BAP和∠APD互补, 所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行), 所以∠BAP=∠CPA(两直线平行,内错角相等). 因为∠1=∠2, 所以∠PAE=∠APF, 所以AE∥PF(内错角相等,两直线平行), 所以∠E=∠F(两直线平行,内错角相等). 【点睛】 考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键. 知识二、命题、定理、公理 1.“定义”的定义 能界定某个对象含义的句子叫做定义。 2.命题 判断一件事情的句子叫做命题。判断为正确的命题为真命题；判断为错误的命题叫做假命题。 3.命题的组成 命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.每个命题都可以 写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论． 4.公理 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理。（它们可以作为判断其他命题真假的原始依据） 5.定理 从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 6.判定命题真假 判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，即这个命题符合命题的条件，但不符合命题的结论。 证明真命题需要经过证明. 题型探究 题型一、命题与定义的判断 【例3-1】下列语句中，不是命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行 C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】 根据命题的定义判断即可． 【详解】 解：A. 相等的角是对顶角是命题； B. 两条直线不平行是命题； C. 延长AB到C使BC=AB不是命题； D. 两点之间线段最短是命题； 故选：C. 【点睛】 本题考查的是命题的概念，一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 【例3-2】下列描述不属于定义的是（ ） A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形; B．正三角形是特殊的等腰三角形; C．在同一平面内三条线段首尾顺次连接得到的图形叫做三角形; D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】B 【解析】 试题分析：根据课本中的数学定义作答． A、是平行四边形的定义，不符合题意； B、三边相等的三角形叫做正三角形，而正三角形是特殊的等腰三角形不是正三角形的定义，符合题