专题03 导数中的构造问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题03 导数中的构造问题 常见的构造类型 ①f(x)+xf(x),构造xf(x)； ②xf(x)-f(x),构造； ③2xf(x)+x2f(x),构造x2f(x)； ④f(x)+f(x),构造exf(x)； ⑤f(x)-f(x),构造； ⑥，构造； ⑦，构造； ⑧，构造； ⑨，构造． 典例1.（2021秋•9月份月考）已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：∀x∈（0，+∞），f（x）﹣xf′（x）＜0，其中f′（x）为f（x）的导函数，则不等式（2x﹣3）f（x+1）＞（x+1）f（2x﹣3）的解集为（　　） A． B．（4，+∞） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，4） 【分析】构造函数g（x），求导分析，可得g（x）在（0，+∞）上单调递增，（2x﹣3）f（x+1）＞（x+1）f（2x﹣3）⇔，即g（x+1）＞g（2x﹣3），脱“g”，整理可得答案． 【解答】解：设g（x），g′（x）， 因为：∀x∈（0，+∞），f（x）﹣xf′（x）＜0， 所以在（0，+∞）上，g′（x）＞0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 由已知f（x）的定义为（0，+∞）， 所以x+1＞0，2x﹣3＞0， 所以（2x﹣3）f（x+1）＞（x+1）f（2x﹣3）⇔，即g（x+1）＞g（2x﹣3）， 所以，解得x＜4， 所以原不等式的解集为（，4）， 故选：A． 典例2．（2021秋•渭南月考）已知定义在上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）+tanx•f（x）＞0，则（　　） A． B． C． D． 【分析】构造函数g（x），利用导数的正负判断g（x）的单调性，并判断函数g（x）的奇偶性，由奇偶性结合单调性依次判断句四个选项即可． 【解答】解：因为f'（x）+tanx•f（x）＞0， 则cosxf'（x）+sinxf（x）＞0， 令g（x）， 则， 故函数g（x）在上单调递增， 又f（x）为奇函数，则g（x）为奇函数， 所以g（0）＜g（）， 故， 即，故选项A错误， ，故选项C错误， 又， 即， 则，故选项B正确， 则，故选项D错误． 故选：B． 牛刀小试 一．选择题（共8小题） 1．（2021春•宝鸡期末）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（　　） A．2f（1）＜f（2） B．2f（1）＞f（2） C．2f（1）＝f（2） D．2f（1）≤f（2） 【分析】根据题意可得f（x）﹣xf′（x）＞0，构造函数F（x），求导，分析单调性，即可得出答案． 【解答】解：因为f（x）＞xf′（x）， 所以f（x）﹣xf′（x）＞0， 设F（x）， F′（x）0， 所以F（x）在R上单调递减， 所以F（2）＜F（1）， 所以，即f（2）＜2f（1）， 故选：B． 2．（2021秋•河南月考）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）﹣f（x）（f'（x）为f（x）的导函数），且f（e）＝﹣e2，则当x时，f（x）（　　） A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．有极大值和极小值 D．没有极值 【分析】由xf'（x）﹣f（x）可得，令g（x），则g′（x）（）2（1）2+1，即可得当x，e）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，从而求解． 【解答】解：因为xf'（x）﹣f（x），所以， 由xf'（x）﹣f（x）可得， 令g（x），则g′（x）（）2（1）2+1， ∵x，∴∈（0，2），∴＝（1）2+1＞0， 即可得函数g（x）在（，+∞）单调递增， 令xf'（x）﹣f（x）中得x＝e可得ef′（e）﹣f（e）＝e2，∴f′（e）＝0，即g（e）＝0， ∴当x，e）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0， ∴f（x）在（，e）递减，在（e，+∞）递增，所以有极小值，没有极大值， 故选：B． 3．（2021春•大竹县校级期中）函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足f（x）＜xf'（x）＜3f（x），其中f'（x）为f（x）的导函数，则（　　） A． B． C． D． 【分析】分别构造函数g（x），x∈（0，+∞），h（x），x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性，即可求得的取值范围． 【解答】解：令g（x），x∈（0，+∞）， g′（x）， ∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立， ∴f（x）＞0，则g′（x）＞0， ∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增， ∴g（3）＜g（4），即4f（3）＜3f（4）， ∴； 令h（x），x∈（0，+∞）， h′（x）， ∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立， ∴h′（x）＜0， ∴函数h（x）在