专题07 二次函数与菱形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题7二次函数与菱形存在性问题 我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是 ①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形. 在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种. 二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上. 【例1】（2021•山西）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式； （2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M（﹣2，﹣4m﹣12），根据AC的函数表达式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根据S△DMN＝S△AOC可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得DM的长． 【解析】（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0， 解得x1＝﹣6，x2＝2， ∴A（﹣6，0），B（2，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， ∵A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6； （2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ∵DE∥BC， ∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD2＝BC2， ∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40， 解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； 如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形， ∴CD2＝CB2， ∴2m2＝40， 解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6）， ∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（2﹣2，2）； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵A（﹣6，0），B（2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC， ∴设直线l的解析式为y＝3x+b， ∵点D的坐标（m，﹣m﹣6）， ∴b＝﹣4m﹣6， ∴M（﹣2，﹣4m﹣12）， ∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N． ∴N（﹣2，﹣4）， ∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8， ∵S△DMN＝S△AOC， ∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6， 整理得：m2+4m﹣5＝0， 解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣5，﹣1）， ∴点M的坐标为（﹣2，8）， ∴DM＝＝3， 答：DM的长为3． 【例2】（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛