专题06 二次函数与平行四边形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 1. 平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是. 2. 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，则， . 3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH． （1）抛物线的解析式为 　 ； （2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法构建方程组求出b，c即可． （2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．由题意AC∥直线m，推出△ACH的面积是定值，因为S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，推出当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． （3）如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，构建方程求解即可． 【解析】（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． 故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）． ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC＝3，AC＝3， ∵AC∥直线m， ∴△ACH的面积是定值， ∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH， ∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大， ∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+， ∵﹣＜0， ∴m＝﹣时，△AEC的面积最大， ∴E（﹣，）． （3）存在．如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±， 对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣， ∴Q1（﹣，）． 当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝， ∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）． 综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）． 【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，求直线BC的解析式； （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值； （4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决． （3）可以连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长． （4）观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，把问题转化为解方程求解即可． 【解析】（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 设BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4． （3）如图1中， 由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称， 连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4， 此时P（，）． （4）如图2中，存