专题05 二次函数与面积最值定值问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题5二次函数与面积最值定值问题 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有： 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6 【例1】（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）． （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，﹣m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD＝•（xD﹣xA）•PE＝3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题． 【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵D（4，3）在抛物线上， ∴3＝a（4+2）×（4﹣6）， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3， ∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3）， 设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 则， 解得，， ∴直线l的解析式为y＝x+1； （2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，﹣m2+m+3），则E（m，m+1）． ∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PE＝3PE， ∴PE的值最大值时，△PAD的面积最大， ∵PE＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+， ∵﹣＜0， ∴m＝1时，PE的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6）， 设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°， ∵D（4，3）， ∴直线DT的解析式为y＝﹣x+， ∴Q（0，）， 作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6）， 则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9， 设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°， ∴Q′（0，﹣9）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）． 【例2】（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD； （3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由直线求得A，B，再由待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）证明出△BOA≌△DOA即可； （3）根据